第2章圆锥曲线与方程习题课(5)一、选择题1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．答案：D2．方程x＝所表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.答案：C3．[2014·安徽省合肥一中月考]若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是()A.－3B.C.3D.－解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－，故选D.答案：D4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.或2解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或，故选D.答案：D5．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.mC.3D.3m解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.答案：A6.[2014·湖北高考]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3D.2解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos⇒a2＋3m2＝4c2⇒()2＋3()2＝4，则[()2＋3()2](1＋)≥(＋)2⇒＋＝＋≤，当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A.答案：A1二、填空题7．[2013·陕西高考]双曲线－＝1的离心率为__________．解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴e2＝＝，e＝.答案：8．[2014·山西四校联考]已知双曲线－＝1(b>0)，过其右焦点F作圆x2＋y2＝9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED＝150°，则双曲线的离心率为________．解析：由题可得三角形OCE为等腰三角形，且底角为75°，所以顶角∠COE＝30°，在直角三角形OCF中，|OC|＝3，易知|OF|＝2，即c＝2，所以离心率e＝＝.答案：9．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.答案：③④三、解答题10．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为16，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线－y2＝1有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．解：(1)由题意知b＝8，且为等轴双曲线，∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝，当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：F1M·F2M＝0.解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，∵(4，－)在双曲线上，∴n＝42－(－)2＝6.2∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)∵M(3，m)在双曲线上，则M(3，±)，即m＝±，∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.∴F1M·F2M＝0.12．[2014·四川成都六校协作体期中考试]求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．证明：设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，可得点P到bx＋ay＝0的距离d1＝，点P到bx－ay＝0的距离d2＝.∴d1d2＝·＝.又P在双曲线上，∴－＝1，即b2x－a2y＝a2b2，∴d1d2＝.故P到两条渐近线的距离之积为定值．3
