课时跟踪检测（十四）椭圆的简单性质一、基本能力达标1．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则()A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b解析：选B因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.3．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.解析：选C由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.∴3a＝4c.∴e＝.4．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是()A．(0,1]B．[1,2]C．(0,2]D．[2，＋∞)解析：选B因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.5．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．解析： 椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝.答案：6．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．解析： |F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5， |MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.又 O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.答案：47．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．解：(1)依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 椭圆上一点到其两个焦点的距离1之和为12，∴2a＝12，即a＝6. 椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，∴＝，∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝9，因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，所以椭圆的标准方程为＋＝1.8．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．解：如图，连接BF2. △AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，∴F2B⊥AF1.又 ∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝c，|BF2|＝c，根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋c＝2a，∴＝－1.∴椭圆的离心率e为－1.二、综合能力提升1．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选D依题意得＝，∴c＝2b，∴a＝＝b，∴e＝＝＝.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.3．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C由题意得点F(－1,0)．设点P(x0，y0)，则有＋＝1，可得y＝3. FP＝(x0＋1，y0)，OP＝(x0，y0)，∴OP·FP＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.此二次函数的图像的对称轴为直线x0＝－2.又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，OP·FP取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为e>0，所以e＝.答案：5．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，2并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1，由m－＝>0，可知m>，所以a2＝m，b2＝，c＝＝，由e＝，得＝，解得m＝1.于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，则a＝1，b＝，c＝.所以椭圆的长轴长为2，短...
