第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a<－1B．a>－1C．a<－D．a>－解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，所以x＝ln(－a)．又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.答案：A2．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极大值为()A．－eB．－1C．1－eD．0解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.答案：B3．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0
2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．答案：D4．若函数f(x)＝ax－lnx在x＝处取得极值，则实数a的值为()A.B.C．2D.解析：f′(x)＝a－，因为f′＝0，即a－＝0，解得a＝.答案：A5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a的取值范围是()A．(0，2]B．(0，2)C．[，2)D．(，2)解析：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得0，f(x)为增函数．故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．答案：28．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既无极大值又无极小值，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有无大值又有无小值，所以Δ＝36a2－36(a＋2)≤0，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.答案：[－1，2]三、解答题9．求下列函数的极值；(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗从表中可以看出，当x＝－2时，函数取得极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数f(x)取得极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.(2)f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘当x＝－1时，f(x)取得极小值，并且f(－1)＝－2＝－3；当x＝1时，f(x)取得极大值，并且f(1)＝－2＝－1.210．若函数f(x)＝ax3－bx＋2，当x＝1时，函数f(x)取极值0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．解：(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b.所以⇒故所求的函数解析式为f(x)＝x3－3x＋2.(2)由(1)可知f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值4↘极小值0↗因此，当x＝－1时，f(x)有极大值4，当x＝1时，f(x)有极小值0，故实数k的取值范围为(0，4)．B级能力提升1．函数f(x)＝x3－(2b＋1)x2＋b(b＋1)x在(0，2)内有极小值，则()A．0＜b＜1B．0＜b＜2C．－1＜b＜1D．－1＜b＜2解析：f′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)[x－(b＋1)]，令f′(x)＝0，则x＝b或x＝b＋1，x＝b＋1是极小值点，所以0＜b＋1＜2，得－1＜b＜1.答案：C2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________(填序号)．①当x＝时...
