高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 计时双基练26 平面向量的数量积与平面向量应用举例 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

计时双基练二十六平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础必做1．在边长为2的正△ABC中，AB·BC等于()A．2B．－2C．2D．－2解析AB·BC＝|AB|·|BC|·cos(180°－∠ABC)＝2×2×cos120°＝－2，故选项D正确。答案D2．(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤|a|－|b|C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析当a与b为非零向量且反向时，B显然错误。答案B3．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析因为(a＋b)⊥，所以a2－b2－a·b＝0。又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1。所以a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝。又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为。答案A4．(2015·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6解析如图所示，在▱ABCD中，|AB|＝6，|AD|＝4。 AD＝BC，BM＝3MC，∴BM＝AD，CM＝－AD。又AB＝DC，DN＝2NC，∴NC＝AB。又NM＝NC＋CM＝AB－AD，AM＝AB＋BM＝AB＋AD，∴AM·NM＝·＝|AB|2－AB·AD＋×AD·AB－×|AD|2＝|AB|2－|AD|2＝×62－×42＝12－3＝9。故选C。答案C5．(2015·东北三校联考)已知△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|等于()A．6B．5C．4D．3解析由题知AD＝(AB＋AC)，AB·AC＝－16，∴|AB|·|AC|cos∠BAC＝－16。在△ABC中由余弦定理得，|BC|2＝|AB|2＋|AC|2－2|AB||AC|·cos∠BAC，∴102＝|AB|2＋|AC|2＋32，|AB|2＋|AC|2＝68，∴|AD|2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)＝(68－32)＝9，∴|AD|＝3，故选D。答案D6．(2016·淄博模拟)设单位向量e1，e2的夹角是60°，a＝e1＋e2，b＝e1＋te2，若向量a，b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是()A．(－1,1)∪(1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,1)D．(－∞，1)解析由单位向量e1，e2的夹角是60°，可得e1·e2＝1×1×cos60°＝，若a，b的夹角为锐角，则a·b>0①，且a，b不共线②，由①可得1＋＋t>0，解得t>－1。由②可得1×t－1×1≠0，解得t≠1，综上可得，t的取值范围是(－1,1)∪(1，＋∞)。答案A7．(2015·湖北卷)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________。解析OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝|OA|2＋OA·AB＝|OA|2＝9。答案98．(2015·山西四校联考)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB＋AC＝2AO，且|OA|＝|AC|，则向量BA在向量BC方向上的射影为________。解析 AB＋AC＝2AO，∴O是BC的中点，故△ABC为直角三角形。在△AOC中，有|OA|＝|AC|＝2，∴∠B＝30°，|BA|＝2。由定义，向量BA在向量BC方向上的射影为|BA|cos∠B＝2×＝3。答案39．(2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|OA＋OB|≥|AB|，那么OA·OB的取值范围是________。解析依题意，(OA＋OB)2≥(OB－OA)2，化简得OA·OB≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|OA|－|OB|<|AB|＝|OB－OA|，两边平方可得(|OA|－|OB|)2<(OB－OA)2，化简可得OA·OB<4，∴－2≤OA·OB<4。答案[－2,4)10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°。(1)计算：①|a＋b|；②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解由已知得，a·b＝4×8×＝－16。(1)① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4。② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16。(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0。∴k＝－7。即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直。11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积。解(1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61。又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6。∴cosθ＝＝＝－。又0≤θ≤π，∴θ＝。(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝。(3) AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝。又|...