2．2圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接多边形的定义．如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做____________，这个圆叫做多边形的________．2．圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的________．3．圆内接四边形的判定定理．如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形四个顶点共圆．5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求证：A、B、C、D四点共圆．预习导学1．圆内接多边形外接圆2．互补对角3．互补4．对角5．证明：四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝DB，∴OA＝OB＝OC＝OD. 点A、B、C、D到O点的距离相等，∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．►一层练习1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个B．2个C．3个D．4个1．B2．圆内接平行四边形一定是()1A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形2.D3．下列命题中，真命题的个数为()①任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；②矩形有唯一的外接圆；③菱形有外接圆；④正多边形有外接圆．A．1个B．2个C．3个D．4个3．解析：①错误，任意三角形有唯一的外接圆；②正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；③错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；④正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．答案：B4．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝______，∠BCD＝________.4．30°150°►二层练习5．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2D．以上都不对5.B6．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过C作CE∥AB交AD的延长线于E，那么与∠BCE互补的角是()A．∠BADB．∠ADCC．∠CDE2D．∠DEC6.C7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°7.C8．如图所示，PA为⊙O直径，PC为⊙O的弦，过AC的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B.若HB＝6，BC＝4，则⊙O的直径为()A．10B．13C．15D．208．解析：连PH及CH，由圆内接四边形的性质定理有∠BCH＝∠A，则△PAH∽△HCB，＝，又CH＝HA，则PA＝13.答案：B9．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________．9．120°60°10．如图，⊙O的内接四边形BCED，延长ED、CB交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________．310．解析：由圆内接四边形的性质定理有∠ADB＝∠C，∠ABD＝∠E.则△ABD∽△AEC，则＝＝代入数据即得DE＝5，CE＝2.答案：52►三层练习11．如下图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________．11.12．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.(1)求证：点D、E、F、G四点共圆；(2)求证：点G、B、C、F四点共圆．12．证明：(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，4∴GF中点到点D、E、F、G四点距离相等．∴点D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中点D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴∠B＋∠GFC＝180°.∴点G、B、C、F四点共圆．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．13．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．5又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE...
