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高中数学 第2章 几个重要的不等式 学业分层测评10 简单形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

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第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大版选修4-5(建议用时:45分钟)学业达标]一、选择题1.已知a,b为正数,且a+b=1,则P=(ax+by)2与Q=ax2+by2的关系是()A.P≤QB.P<QC.P≥QD.P>Q【解析】设m=(x,y),n=(,),则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|=·=·=,所以(ax+by)2≤ax2+by2.即P≤Q.【答案】A2.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是()A.B.C.D.【解析】2x2+3y2=(2x2+3y2)·≥=(x+y)2=.【答案】B3.已知x,y,z均大于0,且x+y+z=1,则++的最小值为()A.24B.30C.36D.48【解析】(x+y+z)≥=36,∴++≥36.【答案】C4.设x,y,m,n>0,且+=1,则u=x+y的最小值是()A.(+)2B.C.D.(m+n)2【解析】根据柯西不等式,得x+y=(x+y)·≥=(+)2,当且仅当=时,等号成立,这时u取最小值为(+)2.【答案】A5.函数y=+2的最大值是()A.B.C.3D.5【解析】根据柯西不等式,知y=1×+2×≤×=.【答案】B二、填空题6.函数y=+的最大值为__________.【解析】由,非负且()2+()2=3,所以+≤1==.【答案】7.设x,y为正数,且x+2y=8,则+的最小值为__________.【导学号:94910031】【解析】(x+2y)=()2+()2]≥=25,又x+2y=8,∴+≥.【答案】8.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则=________.【解析】由柯西不等式,得25×36=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302.当且仅当===k时取“=”,由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得k=,所以=k=.【答案】三、解答题9.已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小值.【解】由柯西不等式得(x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2.∵x+2y+z=1,∴3(x2+4y2+z2)≥1,即x2+4y2+z2≥.当且仅当x=2y=z=,即x=,y=,z=时等号成立.故x2+4y2+z2的最小值为.10.已知θ为锐角,a,b均为正数.求证:(a+b)2≤+.【证明】设m=,n=(cosθ,sinθ),则|a+b|==|m·n|≤|m||n|=·=,∴(a+b)2≤+.能力提升]1.已知x,y为正数,且xy=1,则的最小值为()A.4B.2C.1D.【解析】=·≥==22=4.【答案】A22.设a1,a2,…,an为正数,P=,Q=,则P,Q间的大小关系为()A.P>QB.P≥QC.P

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