第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知a，b为正数，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()A．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q【解析】设m＝(x，y)，n＝(，)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝·＝，所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.【答案】A2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.B．C.D．【解析】2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.【答案】B3．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为()A．24B．30C．36D．48【解析】(x＋y＋z)≥＝36，∴＋＋≥36.【答案】C4．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是()A．(＋)2B．C.D．(m＋n)2【解析】根据柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)·≥＝(＋)2，当且仅当＝时，等号成立，这时u取最小值为(＋)2.【答案】A5．函数y＝＋2的最大值是()A.B．C．3D．5【解析】根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.【答案】B二、填空题6．函数y＝＋的最大值为__________．【解析】由，非负且()2＋()2＝3，所以＋≤1＝＝.【答案】7．设x，y为正数，且x＋2y＝8，则＋的最小值为__________.【导学号：94910031】【解析】(x＋2y)＝()2＋()2]≥＝25，又x＋2y＝8，∴＋≥.【答案】8．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.【解析】由柯西不等式，得25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302.当且仅当＝＝＝k时取“＝”，由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝，所以＝k＝.【答案】三、解答题9．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.10．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤＋.【证明】设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则|a＋b|＝＝|m·n|≤|m||n|＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.能力提升]1．已知x，y为正数，且xy＝1，则的最小值为()A．4B．2C．1D．【解析】＝·≥＝＝22＝4.【答案】A22．设a1，a2，…，an为正数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为()A．P>QB．P≥QC．P
