课时跟踪训练(十一)直线间的夹角、平面间的夹角1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则异面直线EF和CD的夹角是()A．60°B．45°C．30°D．90°2．(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.3.如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()A.B.C.D.4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为()A．60°B．70°C．80°D．90°5．平面π1的一个法向量n1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．6.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值．18.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值．答案1．选B以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则E，F，EF�＝，DC�＝(0,1,0)．所以cos〈EF�，DC�〉＝＝－，所以〈EF�，DC�〉＝135°，所以异面直线EF和CD的夹角是45°.2．选A设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量1AB�＝(－2,2,1)，1BC�＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈1AB�，1BC�〉＝＝＝.3.选D设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D.∴OC�＝，且OC�为平面BDF的一个法向量．由BC�＝，FB�＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．∴cos〈n，OC�〉＝，sin〈n，OC�〉＝.∴tan〈n，OC�〉＝.4．选D设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，2则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝.于是EM�·FN�＝(PM�－PE�)·(PN�－PF�)＝PM�·PN�－PM�·PF�－PE�·PN�＋PE�·PF�＝abcos60°－a·cos45°－·bcos45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以EM�与FN�的夹角就是α与β的夹角．5．解析：n1·n2＝2－4＋2＝0，∴n1⊥n2，∴〈n1，n2〉＝，即α与β垂直，∴sin〈n1，n2〉＝1.答案：16．解析：不妨设棱长为2，则1AB�＝1BB�－BA�，BM�＝BC�＋1BB�，cos〈1AB�，BM�〉＝＝＝0.故AB1与BM的夹角为90°.答案：90°7．解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以＝.由AD＝3可知DE＝3，AF＝，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．所以BF�＝(0，－3，)，EF�＝(3,0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则n＝(4,2，)．由题意知AC⊥平面BDE，所以CA�为平面BDE的法向量，CA�＝(3，－3,0)．所以cos〈n，CA�〉＝＝＝.故由题意知平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值为.8．解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以1AB�＝(2,0，－4)，1CD�＝(1，－1，－4)．因为cos〈1AB�，1CD�〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值为.3(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD�＝(1,1,0)，1AC�＝(0,2,4)，所以n1·AD�＝0，n1·1AC�＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1的夹角的大小为θ.由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值为.4
