3.3综合法与分析法（1）学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b为非零实数，则使不等式＋≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．a·b>0B．a·b<0C．a>0，b<0D．a>0，b>0【解析】∵＋≤－2，∴≤－2.∵a2＋b2>0，∴ab<0，则a，b异号，故选C.【答案】C2．平面内有四边形ABCD和点O，OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形【解析】∵OA＋OC＝OB＋OD，∴OA－OB＝OD－OC，∴BA＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．【答案】D3．若实数a，b满足0
2，∴2ab<.而a2＋b2>＝.又∵0B是sinA>sinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若A>B，则a>b，又＝，∴sinA>sinB；若sinA>sinB，则由正弦定理得a>b，∴A>B.【答案】C5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若mβ，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β1C．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．【答案】C二、填空题6．设e1，e2是两个不共线的向量，AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.【解析】若A，B，C三点共线，则AB＝λCB，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，∴∴【答案】67．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．【解析】∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c.又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.【答案】a>c>b8．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．【解析】对不等式②作等价变形：>⇔>0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③⇒②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①②⇒③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】3三、解答题9．如图334，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.图334【证明】∵四棱锥PABCD的底面是平行四边形，∴ABCD.又∵E，F分别为AB，CD的中点，∴CFAE，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF∥EC.又AF⃘平面PEC，EC平面PEC，∴AF∥平面PEC.10．(2016·临沂高二检测)在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形.【证明】由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差数列，∴b＝，代入上式得＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，2而B＝，则A＝B＝C＝，从而△ABC为等边三角形．[能力提升]1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为()A．2B.C．1D．【解析】∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，∴＋＝log3(ab)≤log32＝1.故选C.【答案】C2．(2016·西安高二检测)在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】因为tanA·tanB>1，所以A，B只能都是锐角，所以tanA>0，tanB>0,1－tanA·tanB<0，所以tan(A＋B)＝<0，所以A＋B是钝角，即C为锐角．【答案】A3．若02，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．【答案】a＋b4．(2016·泰安高二检测)如图335所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．图335【证明】设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y)．由消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，解得yE＝，∴xE＝.同理可得yF＝，∴xF＝.∴kEF＝＝＝＝－(定值)．∴直线EF的斜率为定值．3
