1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用[A基础达标]1．已知函数f(x)＝x3，若f′(x0)＝6，则x0＝()A．B．－C．±D．±1解析：选C.因为f′(x)＝3x2，所以f′(x0)＝3x＝6，解得x0＝±.2．下列结论中不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x，则y′＝x解析：选D.当y＝x时，y′＝(x)′＝x－.3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A．e2B．2e2C．e2D．解析：选D.因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2，所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.4．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则P的坐标为()A.B.或C.D.解析：选B.因为y′＝－，令－＝－4，得x＝±，P的坐标为或，故选B.5．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.B.C.D．11解析：选B.由题意得xn＝，则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.6．质点的运动方程是s＝(其中s的单位是m，t的单位是s)．则质点在t＝3s时的速度是________．解析：因为s＝t－4，所以s′＝－4t－5，所以质点在t＝3s时的速度是(－4)×＝－(m/s)．答案：－m/s7．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．解析：设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－.由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.所以P(1，1)．答案：(1，1)8．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝________．解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.答案：cosx9．已知P、Q两点为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4，－2，过P、Q两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点A，求A点的坐标．解：因为点P、Q的横坐标分别为4，－2，且点P、Q都在抛物线上，所以可得P(4，8)，Q(－2，2)；因为y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，联立直线PA、QA的直线方程，得解得即点A的坐标为(1，－4)．10．求与曲线y＝f(x)＝在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．解：因为y＝，所以y′＝()′＝′＝x－.所以f′(8)＝×8－＝，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.[B能力提升]11．曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为()A．1B．e2C．－1D.解析：选D.设M(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝，所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－lnx0＝(x－x0)．由题意得0－lnx0＝(0－x0)＝－1，即lnx0＝1，所以x0＝e.所以k＝＝.故选D.12．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________．解析：因为y＝x－，所以y′＝－x－，所以曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，所以切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.因为该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·3a·a－＝a＝18，所以a＝64.答案：6413．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．解：因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，所以所求切线的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.14．(选做题)已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y1＝sinx，y2＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′1|x＝x0＝cosx0，k2＝y′2|x＝x0＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须使cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．34
