2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通n项公式A级基础巩固一、选择题1．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则的值为()A.B.C.D．1解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，所以＝＝.答案：A2．在等比数列中，a1＝，an＝，q＝，则项数n为()A．3B．4C．5D．6解析：由a1qn－1＝an⇒·＝⇒n＝4.答案：B3．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝()A．1B．3C．±1D．±3解析：由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.答案：A4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－2解析：由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，得b＝1，c＝2.又a，b，c，d成等比数列，即a，1，2，d成等比数列，所以d＝4，a＝，故ad＝4×＝2.答案：B5．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于()A．31.5B．160C．79.5D．159.5解析：因为1＋2an＝(1＋2a1)×2n－1，所以1＋2a6＝5×25，所以a6＝＝79.5.答案：C二、填空题6．若a4＝27，q＝－，则a6＝________，an＝________．解析：因为a4＝a1q3＝a1(－)3＝27，所以a1＝－36，所以a6＝a1q5＝－36×(－)5＝36×()5＝3，an＝－36×(－)n－1＝(－1)n37－n.答案：3(－1)n37－n7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.所以q4＝，q2＝，所以a3＝a1q2＝2×＝1.1答案：18．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于________．解析：设等比数列{an}的公比为q，由于a1，a3，2a2成等差数列，则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，解得q＝1±.又等比数列{an}中各项都是正数，所以q＞0，所以q＝1＋.所以＝＝＝＝3－2.答案：3－2三、解答题9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3.q＝2q，所以＋2q＝.解得q＝或q＝3.当q＝时，a1＝18，所以an＝18×＝2×33－n.当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.10．已知a，b，c，x，y，z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果，，成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．证明：法一：因为ax＝by，所以＝bx－y.所以＝b＝b1－＝(by)－.同理因为by＝cz，所以＝(by)－.因为，，成等差数列，所以－＝－，所以＝.所以a，b，c成等比数列．法二：令ax＝by＝cz＝t，lgax＝lgby＝lgcz＝lgt，所以t≠1，所以lgt≠0.所以x＝logat，y＝logbt，z＝logct.所以＝，＝，＝.因为＋＝，所以＋＝，所以b2＝ac，所以a，b，c成等比数列．注：证法二自然更有效．B级能力提升1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝(2)A．－4B．－2C．2D．4答案：A2．已知等比数列{an}，若a3a4a8＝8，则a1a2…a9＝________．答案：5123．已知等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且bn＝an＋1－an.(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由；(2)求数列{bn}的通项公式．解：(1)因为等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，所以an＝1·qn－1＝qn－1，若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0，所以数列{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．若q≠1，由于＝＝＝＝q，所以数列{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公式为q的等比数列．(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；当q≠1时，bn＝(q－1)qn－1.3
