初三数学二次函数及其图象知识精讲一.本周教学内容：二次函数及其图象（一）1.二次函数及其图象二次函数解析式有三种表达形式：一般已知二次函数的解析式（无论是哪种表达形式），就可以求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及抛物线与x轴、y轴的交点坐标（或判断抛物线与x轴无交点），画出函数图象。反之，已知抛物线上三个点的坐标（或已知抛物线的顶点及其它任一点）或抛物线的有关性质，就可以求出二次函数的解析式。2.用待定系数法求二次函数解析式由于二次函数解析式有三种表达形式，每种形式又有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1）根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（简称顶点式），一般已知抛物线与x轴的两个交点（或与x轴的一个交点及对称轴），用y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）（简称两点式或截距式）；一般已知抛物线上三个点的坐标，用y＝ax2＋bx＋c（简称一般式）。（2）解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，可以简化计算过程。3.二次函数图象的平移与旋转二次函数图象的平移与旋转是在保证函数图象的形状不变的前提下进行位置的变化。研究二次函数图象的平移问题一般转化为研究特殊点（如抛物线的顶点）的平移问题；而二次函数图象的旋转只限旋转180°。二.重点、难点：1.重点：重点是将二次函数的解析式配方，确定抛物线的特征，进而画出这条抛物线。2.难点：难点是用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象的平移和旋转。例1.已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-10，抛物线与y轴的交点在x轴上方∴抛物线与x轴有两个不同的交点例2.求抛物线的顶点坐标，与坐标轴交点的坐标，写出抛物线的对称轴，当x取何值时，y随x的增大而减小。解：∴抛物线的顶点坐标是（-1，2）对称轴是直线x=-1与x轴交于点（-3，0）（1，0）当x≥-1时，随x的增大而减小例3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-3，0），对称轴x=-1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式。解法1：解法2： 抛物线对称轴x=-1，顶点到x轴的距离为2解法3： 抛物线对称轴x=-1，过（-3，0）∴由对称性知抛物线必过（1，0）小结：此题的三种解法，显然解法2和解法3比较简便，待定的系数越少越好。例4.已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点Q（0，-3），与x轴交于A、B两点，顶点为P，且△PAB的面积等于8，求函数解析式及对称轴。解：由点Q（0，-3）知c=-3∴所求函数的解析式y=x2+2x-3的对称轴为x=-1，y=x2-2x-3的对称轴为x=1例5.将二次函数y=x2-2x+2的图象开口反向，并且向下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为（2，-1）。求：（1）这条新抛物线的函数解析式；（2）这条新抛物线与直线y=kx+1的另一个交点。解：（1）y=x2-2x+2=(x-1)2+1将抛物线开口反向，且向下平移得新抛物线方程为y=-(x-1)2+m 抛物线过（2，-1）解得：m=0∴这条新抛物线的解析式为y=-(x-1)2（2） 直线y=kx+1过（2，-1）∴求得直线的解析式为y=-x+1∴直线与抛物线的另一个交点为（1，0）1.已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。分析：由题意，二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1图象都经过x轴上两个不同的点M、N，就说明令x2+2ax-2b+1=0，令-x2+(a-3)x+b2-1=0得到的两个一元二次方程的解是相同的。也就是说这两个方程是同解方程。如果再把第2个方程转化一下，转化为x2-(a-3)x-b2+1=0，由于二次项系数相同，那么一次项系数和常数项也相同，这样就由待定系数法求出了a与b的值。解：比较方程<1>和<3>的系数，得：2a=-(a-3)∴b=0或b=2当a=1，b=0时，代入方程<1>得：点评：本题是1999年北京市中考数学试题，是求二次函数解析式的题。这个题通过转化的方法，把二次函数转化为一元二次方程，再由方程的同解原理和待定系数法求出a与b的值。2.已知：抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-1...
