山东省烟台市2017届高三数学3月诊断性测试（一模）试题理（扫描版）2017年高考诊断性测试理科数学参考答案一、选择题CDADBAADCB二、填空题11.12.13.14.15.①③三、解答题16.解：（1））由及正弦定理得，,………………………………2分整理得，,即,因为，所以,…………………………………3分而,所以，…………………………………4分函数的图象向右平移个单位可得，，由题意，对任意恒成立，不妨令，有又，所以；………………………………………6分（2））因为，外接圆半径，所以由正弦定理.………………………………………7分又由余弦定理，所以当且仅当时取等号.………………………………………10分于是∴△ABC面积的最大值为．……………………12分17.解：（1）证明：取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以,…………………2分在中，,,可得，.因为，，,所以面，………………………4分而面，所以；………………………5分（2）因为面面，面面,且，所以面，面，所以,由（1）知，，，故可以为坐标原点，以方向为轴，建立空间直角坐标系，……………………………………7分可得,,设为面的一个法向量，则有，令，可得，……………9分,设为面的一个法向量，则有，令，则，……………10分所以，故侧面和侧面所成的二面角的余弦值为.……………12分18.解:（1）∵∴，两式相减得:……………2分又∵∴,显然，数列为等差数列，又，，………………………………………………………………4分因为，所以，两式相比可得：，当时，，满足题意，所以；……………………………………………………………6分（2）由（1）可知，所以，，两式相减可得，，故.…………………………………………………10分因为，所以随的增大而增大，而，所以正整数的最小值为.…………………………………………12分19.解：（1）设第四，五组的频率分别为，则①，②，由①②解得，…………2分从而得出直方图（如图所示）.……………………………………4分（2）依题意第四组人数为，故.………………………………………6分（3）依题意样本总人数为，年龄不低于岁人数为，……………………………………8分故在样本中任选人，其年龄不低于岁的概率为，又由已知的可能取值为0，1，2，3.，，，.…………………10分故的分布列如下：0123依题意，故.……………………………………12分20.解：（1），当时，，所以在处的切线方程为：，…………2分联立，消可得，，由题意可知，，所以；………………………………4分(2)由（1）知'()ln1fxx，当1(0,)xe，'()0fx，()fx单调递减，当1(,)xe，'()0fx，()fx单调递增．…………………………6分①，即时，；②，即时，min11()()fxfee；③，即1te时，()fx在上单调递增，min()()lnfxfttt；所以．……………………………9分（3）设2()((0,))xxmxxee，则1'()xxmxe，……………………………10分当时，,单调递增；当时，,单调递减，可得max1()(1)mxme，当且仅当1x时取到.…………………………11分由（2）知()ln((0,))fxxxx的最小值是1e，当且仅当1xe时取到.因此当时，恒成立.又两次最值不能同时取到，所以对一切(0,)x，都有.……13分21.解：（1）由题意可知，，所以，………………………………1分令，代入椭圆可得，所以，又，两式联立解得：，………………………………………………4分…………………………………………………5分（2）由（1）可知，，代入椭圆可得，所以，…………6分的夹角为，的夹角为，因为，所以，即,又因为轴，所以直线的倾斜角互补，直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数；…8分可设直线AM方程为：，代入得：，…………………………………9分设,,因为点在椭圆上，所以，，，……10分又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以代替，可得，…………………………………12分所以直线MN的斜率，即直线MN的斜率为定值，其值为.…………………………………14分
