*专题训练(四)一元二次方程根的判别式和根与系数的关系类型1一元二次方程根的判别式1．已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根2．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠23．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______________．类型2一元二次方程根与系数的关系4．(防城港中考)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1x1＋1x2＝0成立？则正确的结论是()A．m＝0时成立B．m＝2时成立C．m＝0或2时成立D．不存在5．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．6．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________.7．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程________________________________________________________________________．8．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值．9．已知方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1和x2，不解方程：(1)求代数式x21＋x22的值；(2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1.类型3一元二次方程根的判别式和根与系数关系的综合运用10．不解方程，判别方程2x2＋3x－7＝0两根的符号．11．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？12．(泸州中考)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．参考答案1．A2.D3.a＞－94且a≠04.A5.166.257.x2－5x＋6＝0(答案不唯一)8.设方程的另一个根为x2，根据题意由根与系数关系，得x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝m2－2m＋5，∵x1＝2，∴把x1＝2代入x1＋x2＝6，可得x2＝4.∴把x1＝2，x2＝4代入x1x2＝m2－2m＋5，可得m2－2m＋5＝8.解得m1＝3，m2＝－1.∴方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的另一根为4，m的值为3或－1.9.(1)由题可得x1＋x2＝3，x1x2＝1.x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32－2×1＝7.(2)证明：∵(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－3＋1＝－1＜0，∴(x1－1)与(x2－1)异号．若x1－1＞0，则x2－1＜0，∴x1＞1，x2＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1.10.∵2x2＋3x－7＝0，∴Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0.∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个根为x1，x2，∵x1x2＝－72＜0，∴原方程有两个异号的实数根．11.∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0.∴(2k－1)2－4(k2＋3)＞0，即－4k－11＞0.∴k＜－114.令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝25.∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25.∴k2－2k－15＝0.∴k1＝5，k2＝－3.∵k＜－114，∴k＝－3.把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4.∴直角三角形的两直角边分别为3和4.12.(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝4m2＋8m＋4－4m2－20＝8m－16≥0，解得m≥2.∴m＝6.(2)当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2.∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形．当7为腰时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4；当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7，或x＝15.∵7＋7＜15，∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
