第38章染色问题与染色方法★★38.1已知平面上6点，每3点不共线，证明：以这些点为顶点的三角形中，定有一个三角形的最大边是另一个三角形的最小边．★★38.2有15位数学家在一次国际会议上相遇，其中任意3人中都至少有2人可讲同一种语言．证明：如果已知每个人最多能讲三种语言，那么至少有4人能讲同一种语言．★★38.3某班有50名学生，男女各占一半，他们围成一圈开营火晚会，证明：一定能找到一位两旁都是女生的学生．★★38.4平面上有n(n>3)个点，任意三点都不共线，将这些点两两用线段相连．所有这些线段中某些线段整条涂上红色，其余的线段则整条涂上蓝色，使得所有红色的线段构成一个不自交的封闭曲线（即由此曲线中的任一个顶点开始，可以绕经所有的同色线段，最后绕回此顶点，在途中同色线段互不相交于端点以外的点，且每个顶点恰好各进出一次），所有蓝色的线段也构成一个不自交封闭曲线，试求所有满足上述情况的n值，并说明点的配置情形及如何涂色．★★38-5将正十三边形的每个顶点染成黑色或染成白色，每顶点只染成一色，证明：存在三个同色顶点，它们刚好成为一个等腰三角形的顶点.★38.6圆周上有12个点，其中有1个点涂了红色，还有1个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点（蓝点）的称为红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称为无色多边形．问：是双色多边形的个数多，还是无色多边形的个数多，两者相差多少个？★★★38.7设S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干个点染上红色，其余的点染上蓝色．设任何3个及3个以上的同色的点不共线，求证：存在一个三角形，使得：①它的3个顶点同色；②这个三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点.★★★38.8用任意方式将平面上每一个点染成黑色或白色，求证：平面上必存在一个边长为1或的正三角形，它的三个顶点都是同色的.★★★38.9在正6n+1边形中，将k个顶点染成蓝色．证明：具有同色顶点的等腰三角形数目不依赖于染色方法.★★★38.10在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点．试设计一种将所有整点染色的方法，将每个整点中当成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得：（1）每一种颜色的点出现地无穷多条平行于横轴的直线上.（2）对于任意白点A、红点B及黑点C，总可以找到一个红点D，使得四边澎ABCD是一个平行四边形．并证明设计的染色方法符合上述要求．★★★38.11将平面上的所有的点染成红色或蓝色，试构造一种染色方式，使平面上找不到一个顶点同色而边长等于单位长度的等边三角形．★★★38.12考察坐标平面上的所有整点（x，y），其中1≤x、y≤1997．我们将其中x与y互质的点都染为红色，其余整点染为蓝色．证明：红色点不少于一半．★★★38.13某班有49名学生，坐成7行7列．每个座位的前后左右均称为它的邻座．要使全班每个同学都离开自己的位子坐到邻座上去，问：这种方案能否实现？★★★38.14将边长为2的正方形的角上去掉一个边长为1的正方形，用所得到的图形去覆盖一个5×7的方格纸，可以重叠，但图形不可超出整个方格纸，那么是否可能使方格纸中的每个边长为1的小方格上覆盖图形重叠的层数都相等？证明你的结论.★★38.15如图所示，在一个3×5的棋盘上去掉位于第2行第1列的方格，求证：在残缺棋盘上不能用7个l×2的日字形纸片将它覆盖.★★38.165×5的正方形内有25个方格，至少要涂黑几个方格才能使正方形内的任何一个3×3的正方形里面正好都出现4个黑格？★★★38.17在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去其中2行2列，若无论怎样划都至少有一个红色的小方格数没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论.如果将上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”．其他条件不变，那么至少要涂多少个小方格？证明你的结论.★★38.18把2n×2n的方格中的左下角剪去一个2×2的正方形，余下了4n2－4个小方格（如图所示是n＝4的图形）8×8（1）当n＝5时，余下的96个小方格能否剪成24块形的小纸片？若能，给出剪法；若不能，说明理由.（2）当n＝4时，余下的60个小方格能否剪成15块形的小纸片...
