第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】一.知识结构网络二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为02bbx或bax2的形式的方程求解。当0b时，可两边开平方求得方程的解；当0b时，方程无实数根。2.因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3.配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()xmn2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4.公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02cbxax，确定a、b、c的值；（2）计算acb42的值并判别其符号；（3）若042acb，则利用公式aacbbx242求方程的解，若042acb，则方程无实数解。【典型例题】（1）67302xx（用因式分解法）解：0)32)(13(xx（2）1432xx（用公式法）解：01432xx（3）030222xx（用配方法）解：15222xx【经典练习】一、直接开方法（1）()()xx11222（2）bax2)(二、配方法注：（1）223002xx（2）3412xx二、公式法1.用求根公式法解下列方程()12202xx；解：()228102yy；解：()3231802xx；解：()43212yy；解：()525102xx；解：()625302xx；解：()734502xx；解：(7)方程无实数根；()82432202xx；解：()...90020030352xx；解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，解：。三、因式分解1.用因式分解法解下列各方程：（1）x2－5x－24＝0；解：；（2）12x2＋x－6＝0；解：；（3）x2－4x－165＝0解：；（4）2x2－23x＋56＝0；解：8，27，0)8)(72(21xxxx；（5）924164122xxx；解：（6）33332()()xx；解：（7）xx23260()解：；（8）()xx251062；解：(x－2)2－5(x－2)＋6＝0，(x－2－2)(x－2－3)＝0，x1＝4，x2＝5；（9）t(t＋3)＝28；解：（9）t2＋3t－28＝0，(t＋7)(t－4)＝0，t1＝－7，t2＝4；（10）(x＋1)(x＋3)＝15。解：x2＋4x＋3＝15，(x＋6)(x－2)＝0，x1＝－6，x2＝22.用因式分解法解下列方程：（1）(y－1)2＋2y(y－1)＝0；解：；（2）(3x＋2)2＝4(x－3)2；解：0)]3(2)23)][(3(2)23[(xxxx（3）9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；解：[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，（4）(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0。解：[(2y＋1)＋1][(2y＋1)＋2]＝0，三、综合练习1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是（B）A.7x2－x－1＝0B.9x2＝4(3x－1)C.xx27150D.3222102xx2.若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0（C）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.根的情况不确定解析:因为△＝4(a＋b＋c)2－12(a2＋b2＋c2)＝4(－2a2－2b2－2c2＋2ab＋2ac＋2bc)＝－4[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＜03.若方程mxmx222310()的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。解：设方程的两个实根为221221211，32，则，mxxmmxxxx 方程有两个实根3≠且23∴SS。4.已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0。m取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？解析:△＝(2m＋1)2－4(m－2)2＝5(4m－3)。（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，原方程有两个相等的实数根；（3）当时，原方程没有实数根。5.已知关于x的方程xkxkk2221210()①（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程yxxkyxkxk2121220()()()②的根，其中xx12，为方程①的两个实数根。求：代数式()114112aaaaaa÷·的值。分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成0122yy，再利用根的定义得到122aa...
