《椭圆及其标准方程》教学设计宋素芳二○一五年十月《椭圆及其标准方程》一、教材分析1本节课是人教A版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》的第2.1.1节《椭圆及其标准方程》的内容。这节课是椭圆的起始课，在此之前，学生对椭圆的认识主要来自于直觉感知，认识较为肤浅，为了使学生掌握椭圆的本质特征，本节课先设计让学生用细绳和铅笔动手画椭圆，分析生成椭圆的几何条件，并给椭圆下定义，让学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，再运用求曲线方程的方法推导出椭圆的标准方程，让学生从形与数两个方面全面认识椭圆及其标准方程。这节课内容既是对前面求曲线方程方法的具体运用，也是后面学习圆锥曲线方程及其性质的基础，具有承前启后的作用。二、教学目标知识目标：1、椭圆的定义、焦点、焦距；2、椭圆的标准方程能力目标：1、使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距；2、使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法。情感目标：1、培养学生运动变化的观点；2、增强学生求美、求简的意识。三、教学重点与难点1．教学重点：椭圆的定义与标准方程。2．教学难点：椭圆标准方程的推导----比较复杂的根式化简。四、教学方法启发式，探究式五、教学过程设计问题设计意图师生活动1、请同学们在日常生活中寻找（或从网上查找）椭圆的形象。从感性认识入手，让学生通过自己的努力，体会椭圆在各领域中的广泛应用。学生回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示学生寻找的椭圆模型。2、如何画椭圆的呢？培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。学生动手操作。教师可提示注意事项：〈1〉固定在两点F1、F2，〈2〉固定绳长大于∣F1F2∣〈3〉套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。3、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定义奠定基础。共析画图过程中的“变”与“不变”的条件MF1，MF2都在变化，但2∣MF1∣+∣MF2∣的长度保持不变。4、给出椭圆定义。把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常数（大于∣F1F2︳）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。5、为什么常数必须大于∣F1F2︳？让学生注意到形成椭圆的条件。师生共析，总结：（1）∣MF1∣+∣MF2∣＞∣F1F2︳时为椭圆；（2）∣MF1∣+∣MF2∣=∣F1F2︳时为线段；（3）∣MF1∣+∣MF2∣＜∣F1F2︳时不表示任何图形。问题设计意图师生活动6、如何用集合表示M点所满足的几何条件？使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。学生回答：教师板书P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？推导曲线方程时，建立坐标系要适当。使学生清楚一般的建系原则：原点取定点或定线段的中点，坐标轴取定直线或图形的对称轴上。师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线F1F2的中心为原心，以F1F2垂直平分线为Y轴（或X轴），建立直角坐标系。（两种建系方案）完成“建系”，设动点M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（C＞0），则F1（－C，0），F2（C，0），又设M与F1、F2的距离和等于2a（板书）8、请同学们来表示M到F1、F2的距离∣MF1∣，∣MF2∣巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。∣MF1∣=∣MF2∣=由P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜得+=2a39、如何整理化简上式？巩固根式化简----两边平方。教师展示化简过程。得椭圆形标准方程：（a﹥b﹥0）焦点在X轴上；焦点在Y轴上的椭圆标准方程：(a﹥b﹥0)问题设计意图师生活动10、仔细观察椭圆的两个标准方程有特点是什么？如何区别它们？让学生深入认识椭圆的两个标准方程教师引导学生总结。（1）形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）方程中，X2和Y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；（3）由椭圆标准方程可以求出三个参数的a，b，c值；（4）方程中三个参数满足a=b+c11、知识应用例1写出适合下列条件的椭圆方程〈1〉a=3，b=1，焦点在x轴上。〈2〉a=5，c=2，焦点在y轴上。（通过例1的练习，让学生熟悉椭圆的标准方程）例2椭圆的两个焦点坐标分别是（–4，0）、（4，0），椭圆上一点Ｐ到两...
