利用化归思想进行解题的探索 专题辅导 试题VIP免费

利用化归思想进行解题的探索樊宏标宋玉波化归思想就是转化和归结的思想，是数学学科一种特有的数学思想方法，化归思想的核心是对未解决的问题作等价与非等价转化，我们平时解题的过程实质上就是一个缩小已知与求解差异的过程，一个生题变熟题的过程。因此，解每一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归，平常所见的化归有空间向平面化归，多元向少元化归，高次向低次化归，复杂向简单化归，一般向特殊化归，隐性向显性化归等等，达到化繁为简，化难为易，变正面强攻为侧翼进击，从而找到有效解决问题的方法。一、化空间为平面例1如图1，在正三棱锥S—ABC中，∠ASB＝40°，M、N分别是SB、SC上的点，若SA＝3，求AM＋MN＋NA的最小值。解：M、N是SB、SC上的任意点，AM—MN—NA在多面体的表面，是空间首尾相连的折线，若把正三棱锥的侧面沿SA“剪开”，把三个侧面展开在同一个平面内，如图2，则M、N的位置是当AM—MN—NA成一直线时AM＋MN＋NA最小，根据余弦定理可求得其最小值为评注：化空间为平面，是指把空间问题转化为平面问题加以解决的一种数学思想。运用此思想，我们通常采用把“折线拉成直线，曲面展成平面”的方法，巧求空间图形表面上两点间的最短距离。二、化高次为低次例2（2004年高考天津试题）已知函数在处取得极值。讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值。解：依题意，即解得所以令得若则，故f(x)在上是增函数。若则故f(x)在（－1，1）上是减函数。所以，是极大值；是极小值。评注：本题通过求导，把三次函数转化成了同学们熟悉的二次函数。主要运用了函数极值的概念，运用导数研究函数性质，意在考查同学们分析问题和解决问题的能力。三、化复杂为简单例3对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。解：设则于是问题转化为不等式恒成立，求a的范围，这是一个熟悉的含参数的不等式问题。由于不等式对所有实数x恒成立，则其充要条件是解得即解得评注：数学问题在处理中，如果感到困难且问题复杂棘手，可转化问题的结构形状，化归为一个相对简单，便于处理的问题。如本例不等式的系数比较复杂，我们采用了换元的办法，转化成了一个一元二次不等式问题，起到了化复杂为简单的效果。四、化一般为特殊例4已知，是否存在常数c，使得不等式恒成立？试证明你的结论。解：我们可利用特殊化的思想，考虑不等式等号成立的条件，只要令，可得于是可以考虑取下面先证：由即只要证明恒成立。同理可证成立。故存在使不等式恒成立。评注：当一个一般问题不易解决时，人们首先想到将问题简化，化成一个特殊问题，而特殊问题像一把钥匙，一面镜子，可以为我们解决问题提供一臂之力，为探索解题途径提供线索和积累经验，并成为解决问题的突破口。五、化隐性为显性例5解不等式解：不等式可化为得解得评注：此题巧妙地运用了双曲线的定义，将隐性的，需要解决的不等式问题向显性的、熟悉的问题转化，通常用到的有数与形、方程与函数等观念的转化，以期在熟悉的背景下，利用熟悉的方法，获得数学问题的解决。六、化多元为少元例6在锐角△ABC中，若求证：证明：由得所以所以所以把已知条件代入转化为的关系得：为求需两边同除以得：用代换可得：即评注：本题题设条件中有6个字母A、B、C而求证中只有3个字母，因此，解题的过程实际上就是把6个字母化归为3个字母的过程。综上所述，在数学解题时，我们应该设想有一个与此相关的问题，并将其化归成一个相对简单，便于处理的熟悉的问题来解决，但是不能死记“招式”，生搬硬套。这种方法的实现需要我们对题设条件与结论的再处理，需要我们在平时的学习中不断地加以积累，充分发挥自己的想象力与创造力。