初三数学握手与计数蒋秀乾问题n个人，每两个人都相互握手，共握手多少次？分析因为每一个人都要和其他人进行一次握手，即（n-1）次，则n个人共握手n（n-1）次，两个人之间只需握手一次，上面的握手次数重复计算一次，故总的握手次数的计算公式为。这个公式及公式的推导思维方法都非常重要，下面谈谈这个公式在数学解题中的几个应用。1.确定线段条数例1.图1所示的直线上有多少条线段？图1解视A、B、C、D这四个点为4个人，任何两点之间的线段看作两个人进行一次握手，于是可知图中1线段的总条数为N=（条）。推广一条直线上的n个点总共可以组成条线段。2.确定直线条数例2.有四个点，且每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，共可画多少条直线？图2解视这四个点为4个人，平面内的任意两点惟一确定一条直线，因此过任何两点的直线都可以看成两个人进行一次握手，如图2所示，这四个点可画直线的总数为N=（条）。推广平面内有n个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，共可以画条。3.确定角的个数例3.图3中共有多少个角？图3解视每条射线为一个人，因为没有特殊说明的情况下的角都是0～180℃，所以每两条射线之间惟一组成一个角。又任何两条射线组成的角，可以看成任何两个人进行一次握手，所以图3中共有角N=（个）。推广过同一端点的n条射线可以组成个角。4.确定三角形的个数例4.图4中共有多少个三角形？图4分析1.求图4中的三角形的个数，而过点A有多少个角就可以组成多少个三角形，由例3可知，共有6个三角形。分析2.求图4中的三角形的个数，可转化为求BC边上的线段条数，有多少条线段就可以组成多少个三角形，由例1可知，共有6个三角形。推广如图5，直线上有A1、A2、…、An，共n个点，和直线外一点P，可组成个三角形。图55.确定交点的个数例5.四条直线两两相交，最多有几个交点？图6解如图6所示，视每条直线为一个人，任意两条直线相交都有一个交点，因此两条直线的交点看成任意两个人进行一次握手，故四条直线的交点总数。N=（个）。推广平面内n条直线两两相交，最多能有个交点。6.确定多边形的对角线的条数例6.五边形共有多少条对角线？分析：这个问题虽不符合上面的公式，但完全可用公式的推导思维方法来考虑。视五边形每一个顶点为一个人，每个顶点（人）和其它顶点（人）的线段（握手），除相邻的两个顶点（人）不能组成两条对角线（不能进行握手）外，共有（5—3）条（次），而每两个顶点（人）之间，只需考虑一次，故有N=条对角线。推广n（n＞3）边形共有n（n≥3）条对角线。
