初三数学直线与圆的位置关系切线及三角形内切圆知识精讲一.本周教学内容：直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆［学习目标］1.直线为，⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d。（1）直线与⊙O相离无公共点；（2）直线与⊙O相切，唯一公共点；（3）直线与⊙O相交，两公共点。注意：①由直线与圆的位置关系数量关系反之，数量关系位置关系；②直线与圆的位置关系，d，r数量关系，公共点个数三者互相转化。2.重要公式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，则：即：AC·BC＝AB·CD（是求斜边上高的常用方法）3.切线的判定方法①定义法（不常用），即：唯一公共点；②数量关系推理法，即；③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。4.切线的性质：①与判定均为互逆定理；②其中性质定理及推论要熟练掌握。实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。5.作图：作和已知三角形各边都相切的圆。关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。6.与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。7.三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。例1.已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.位置不定解： OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，∴，∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。例2.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：（1）相离；（2）相切；（3）相交。点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，，∴（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；（3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。例3.已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。求证：AF＝DF；证明： AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC。 ∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE ∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴∠ADE＝∠DAE，∴EA＝ED DE是半圆C的直径，∴∠DFE＝90°∴AF＝DF例4.已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。证明：连结OD。 AD∥OC，∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD∴∠COB＝∠COD CO为公用边，OD＝OB∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC BC是切线，AB是直径，∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切线。点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。例5.如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。求证：AC与⊙O相切。点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。证明：连结OD、OA。过O作OE⊥AC，垂足为E。 AB＝AC，O为BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO又 AB切⊙O于D点，∴OD⊥AB，又OE⊥AC，∴OE＝OD，∴AC与⊙O相切。点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。例6.已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。证明：连结OD，则OD⊥CE。∴∠EDA＋∠ODA＝90° OA⊥OB∴∠A＋∠P＝90°，又 OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA ∠EDA＝∠CDP，∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD...
