绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BADADCBDBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．212．13．-4≤b≤4或b=214．11.515．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（I）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16，中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分（II）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，记第一组同学成绩为A，B，第五组成绩为a，b，c，d，则可能构成的基本事件有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(A，B)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15种，…………………………………………………………8分其中至少有一名是第一组的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(A，B)，共9种，……………………………10分∴概率P=．…………………………………………………………12分17．解：（I）设{an}的公差为d，则由题知解得（舍去）或∴an=2+(n-1)×1=n+1．………………………………………………………5分（II） ，∴Tn=++…+===，………………………………………………………………10分∴≤=，当且仅当，即n=2时“=”成立，即当n=2时，取得最大值．…………………………………………12分18．解：（I）在△ABC中，由正弦定理有，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入b=acosC+csinA中，即得2RsinB=2RsinAcosC+2RsinCsinA，∴sinB=sinAcosC+sinCsinA．…………………………………………………3分 sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA，即sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，整理得，cosAsinC=sinCsinA， sinC≠0，∴cosA=sinA，∴A=．………………………………………………………………………5分（II）在△ABC中，sinB=，由即，解得AC=，………………………………7分又 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-+=，∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=32+25-2××5×=49，∴AB=7，……………………………………………………………………10分于是由可得BD=1，∴CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=25+1-2×5×1×=20，∴CD=．…………………………………………………………………12分19．（I）证明： PQ//BC//B1C1，B1C1面A1B1C1，PQ面A1B1C1，∴PQ//面A1B1C1．……………………………………………………………2分 面A1PQ∩面A1B1C1=l，∴PQ//l，………………………………………………………………………3分∴l//B1C1．……………………………………………………………………6分（II）解：P为AB的中点时，平面A1PQ⊥面PQC1B1．证明如下：作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，CBAA1B1C1PQMNG PQ//BC，∴AP=AQ，进而A1Q=A1P，∴A1M⊥PQ， 平面A1PQ⊥面PQC1B1，平面A1PQ∩面PQC1B1=PQ，∴A1M⊥面PQC1B1，而MN面PQC1B1，∴A1M⊥MN，即△A1MN为直角三角形．连接AM并延长交BC于G，显然G是BC的中点，设AP=x，则PB=2-x，则由，可得，解得AM=，在Rt△AA1M中，A1M2=AA12+AM2=．同理MG=AG-AM=，在Rt△MGN中，MN2=MG2+GN2=()2+()2=．∴在Rt△A1MN中，A1N2=A1M2+MN2，即3=+，解得x=1，即AP=1，此时P为AB的中点．……12分20．解：（I）设焦点F(c，0)，则，从而a2=2c2，由题意有，即，解得b2=2，又由a2=b2+c2，于是2c2+2=c2，解得c2=2，a2=4，∴椭圆E的方程为．………………………………………………4分（II）依题意可知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45º，于是直线BC的斜率为kBC=1，直线AC的斜率为kAC=-1，………………6分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(0，y0)，则，，∴x1=y0-y1=-k(x1+1)+y0，x2=y2-y0=k(x2+1)-y0，相加得x1+x2=k(x2-x1)．………………………………………………………8分联立消去y，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0，∴x1+x2=，x1x2=．………………………………………10分把x1+x2=k(x2-x1)两边同时平方，可得(x1+x2)2=k2[(x1+x2)2-4x1x2]，代入可得()2=k2[()2-4×()]，化简可得4k2+1=2，或k...
