初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一.本周教学内容：弦切角及和圆有关的比例线段二.重点、难点：1.弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角是和圆有关的角之一，其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。这四种角之间的关系及转换是与圆有关的论证及计算的基础。4.相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。5.相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。6.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。7.切割线定理的推论（或称割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。本节是本章中综合性最强的部分，是本章及初中平面几何中难点之一。其中，相交弦定理、切割线定理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。这三个定理实际是一个整体，可以看做相交弦交点从圆内移到圆外，由割线旋转到切线时的结果。应用定理和推论解题时，要注意数形结合的思想、方程思想的运用。由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式，所以一元二次方程更显威力。例1.如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。求证：∠ATC＝∠TBC证明一： TC为⊙O切线，∴∠BTC＝∠A ∠TBC＝∠A＋∠ATB∴∠TBC＝∠BTC＋∠ATB即∠ATC＝∠TBC证明二： ∠ETA＝∠TBA又 ∠ATC＝180°－∠ETA∠TBC＝180°－∠TBA∴∠ATC＝∠TBC证明三： TC为⊙O切线∴∠ATC＝∠D 圆内接四边形ABTD∴∠TBC＝∠D∴∠ATC＝∠TBC例2.已知：如图，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。解析：由P为AB上的一点，且由已知PA、PB，故联想到相交弦定理，所以需把OP向两方延长，分别与圆相交，再利用相交弦定理解之。解：向两方延长OP，分别交⊙O于C、D由相交弦定理有：BP·AP＝CP·DP又 CP＝CO＋OP，DP＝OD－OP，CO＝DO答：⊙O半径为7cm。此题还可以利用垂径定理、勾股定理求解，过O点作OD⊥AB于D，连结OB，则DP＝1，BD＝5，，与上面方法比较繁一些。例3.如图，△ABC内接于⊙O，PA切⊙O于A，过BC的中点D作割线PGF交AB于E，且AC//PF。（1）求证：AE2＝PE·DE；（2）若AE＝4，PE＝5，EF＝8，求PA的长。（1）证明： PA是⊙O切线，∴∠PAB＝∠C PF//AC，∴∠C＝∠PDB，∴∠PAB＝∠PDB（2）解：根据相交弦定理：AE·BE＝GE·EF PA是⊙O的切线例4.AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，连结AD，若AD＝15，，求BC的长。分析：由于，因此要把∠C放在直角三角形中使用，连结OD，可以利用切线性质得到Rt△ODC，于是切线长CD，半径OD及OC的比值就可求出了。连结DB，利用切割线的比求出AD、DB的比值，又可用Rt△ADB，求出AB的长度。解：连结OD、DB CD是⊙O切线，∴OD⊥CD AB是⊙O直径注意：将Rt△ADB中，DB、AD两边的比转化为切线、割线的比，例5.如图，P是⊙O直径CB延长线上的点，PA切⊙O于A，PA＝15，PB＝5，弦AD交CB于点M。（1）若MA2＝MB·MP，试判断CD与AP是否平行，并说明理由。（2）求弦AC的长。（3）当点D在⊙O上运动时，可以得到△ACD的最大面积，请计算这个最大面积。（1）CD//AP证明：连结AB（2）解： PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线（3）由（2）可知，在△ACD中，AC是定值∴点D到AC的距离最大时，△ACD的面积最大此时△ACD的面积最大此题用了圆中的不少知识、概念，综合性较强。例6.已知：如图，AB是⊙O直径，C为半圆的三等分点，PB、PC分别切⊙O于C，且AB＝14，PA交⊙Ｏ于点D，DE//PB交AB于点F，交⊙O于点E。（1）求AD的长；（2）求tan∠AED。解：（1）连结BC、AC AB是直径，∴∠ACB＝90°（2） DE∥PB，AB⊥BP∴DE⊥AB于F AB是⊙O直径例7.已知：如图，AB为⊙O直径...
