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五年级奥数春季试验班第7讲数论综合之高难度因数与倍数问题VIP免费

五年级奥数春季试验班第7讲数论综合之高难度因数与倍数问题_第1页
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第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1.对于正整数a、b,[a,b]表示最小公倍数,(a,b)表示最大公约数,求解下列关于未知数m,n的方程:[,]55(,)[,](,)70mnmnmnmnmnmn①②③。解:设m=ap,n=bp,a,b互质,则[m,n]=abp,(a,b)=p,则5570abapbpabpp,由p×(ab-1)=70,所以p|70,70=2×5×7,若p=2,则ab=36,a≠b,得a=12,b=3,代入①式矛盾,舍去;若p=7,则ab=11,a≠b,得a=11,b=1,代入①式矛盾,舍去;若p=5,则ab=15,a≠b,得a=5,b=3,于是m=25,n=15,[m,n]=75,(m,n)=5,所以原方程的解是2515mn。例2.n为非零自然数,a=8n+7,b=5n+6,且最大公约数(a,b)=d>1,求d的值。解:用辗转相除的方法,(8n+7,5n+6)=(3n+1,5n+6)=(3n+1,2n+5)=(n-4,2n+5)=(n-4,n+9)=(13,n+9),所以(a,b)=13.例3.Mn为1、2、3、⋯⋯、n的最小公倍数,对于样的正整数n,Mn-1=Mn。解:如果n是一个合数,且n不是某一整数的k次方,则Mn-1=Mn。因为n是一个合数,所以n=a×b,a,b都小于n,且a、b互质,于是a10,所以[a1,a2,a3,⋯⋯10,当a1≥2时,先看a1,a2;a2>a1,若a1、a2互质,a2>2,则它们的公倍数大于等于2a1。若a2的因数中含有a1的因数,则取p=(a1,a2),a2=mp,m≥2,它们的公倍数为ma1≥2a1,同理研究[a1,a2]与a3的关系,若a3是质数,则a3>4,所以三个数的公倍数大于3a1,若a3是合数,则a3至少可以分解为两个因数的和,若因数都不是a1或a2的约数,那么公倍数一定大于3a1,若这两个因数分别是a1和a2的因数,则这两个因数最小是2与3,同样可以推出,公倍数一定大于3a1;以此类推,可知10个数的最小公倍数不小于10a1.模块三、因数、倍数与计数的综合问题例5.在1~300的全部自然数中,与30互质的数共有个。解:30=2×3×5,在1~300中,是2的倍数的有150个,是3的倍数的有100个,是5的倍数的有60个;既是2的倍数,又是3的倍数的有50个,既是2的倍数,又是5的倍数的有30个,既是3的倍数,又是5的倍数的有20个,同时是2、3、5的倍数的有10个,所以至少含有2、3、5一个约数的数有300-(150+100+60)+(50+30+20)-10=80(个)。所以与30互质的有80个。例6.270000共有100个因数,其中数字和为18的共有个。解:270000=24×33×54,18是9的倍数,所以该数一定是9的倍数,也就是约数中含有32,如果恰好含有2个3,另外还有若干个2和5,如果是1个2、2个2、3个2、4个2;1个5、2个5、3个5,则它们与9乘,得到的乘积数字和都是9,也就是都不成立,只有当32×54=5625时,得到的乘积的数字和是18,符合要求;如果恰好含有3个3,另外还有若干个2和5,如果是1个2、2个2、3个2、4个2;1个5、则它们与9乘,得到的乘积数字和都是9,也就是都不成立;只有当33×25=675、33×125=3375时,得到的乘积的数字和是18,符合要求;对于33×54=16875,又不符合要求;另外对于33×25=675,再填上一个2×5或22×52,它们的数字和也是18对于33×125=3375,再填上一个2×5,数字和也是18.所以一共有1+3+2=6个符合条件的数。例7.蓝精灵王国的A、B两地的距离等于2010米,国王派第1号信使从A地出发以1米/分钟的速度向B地送信,一分钟之后又派出第2号信使使用比第1号信使快1米/分钟的速度向B地送信,一般地,第k分钟之后,又派出第k+1号信使使用比第k号信使快1米/分钟的速度向B地送信,⋯⋯,直到第2009分钟后,派出第2010号信使使用比第2009号快1米/分钟的速度向B第送信。每个信使都是匀速行进,问其中第号信使能同时到达B地。解:第k名信使到达终点的时间是k-1+2010k(分钟),设第m名与第n名信使同时抵达B地.则m-1+2010m=n-1+2010n,m-n=2010n-2010m=2010()mnmn,则mn=2010=2×3×5×67,由此看出同时抵达B地的信使成对出现,共8对:(1,2010),(2,1005),(3,670),(5,402),(6,335),(10,201),(15,134),(30,...

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