高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）选修2-32.3.3离散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1．已知随机变量X的分布列是X123P0.40.20.4则E(X)和D(X)分别等于()A．1和0B．1和1.8C．2和2D．2和0.8[答案]D[解析]E(X)＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2D(X)＝(2－1)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(2－3)2×0.4＝0.8.2．已知随机变量X的分布列为X012P715715115且η＝2X＋3，且E(η)等于()A.35B.65C.215D.125[答案]C[解析] E(X)＝0×175＋1×715＋2×115＝35，∴E(η)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6[答案]B[解析] 途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2＝65.4．已知X的分布列为X1234P14131614则D(X)的值为()A.2912B.121144C.179144D.1712[答案]C[解析] E(X)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，E(X2)＝12×14＋22×13＋32×16＋42×14＝8512，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.5．已知X的分布列为X－101P121316若η＝2X＋2，则D(η)的值为()A．－13B.59C.109D.209[答案]D[解析]E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，∴D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×59＝209.6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为()A.65B.1825C.625D.18125[答案]B[解析]由X～B3，25，∴D(X)＝3×25×35＝1825.7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1[答案]B[解析]由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96∴n＝6p＝0.48．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1[答案]B[解析]计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.s1＝120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，∴s2>s1>s3，故选B.二、填空题9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．[答案]0.196[解析]由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.10．(2010·福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.[答案]nm[解析]设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，∴P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，⋯，n)，∴X～B(n，1m)．则E(X)＝n×1m＝nm.11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[答案]48[解析]设小王选对个数为X，得分为η＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(η)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.12．若X的分布列如下表：X1234P14141414则D14X＝________.[答案]564[解析]E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－522×14＝54，∴D14X＝116D(X)＝564.三、解答题13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．[解析]由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.15＝0.003，P(X＝1)＝P(A...
