高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）导数专题之导数的几何意义知识结构1、若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于（A）A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或72、设20,()afxaxbxc,曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线的倾斜角的取值范围为[0,]4，则P到曲线()yfx对称轴距离的取值范围为（D）A．10,aB．10,2aC．0,2baD．10,2ba3、已知3()-3fxxx，过点(1,)Pm可作函数()fx的三条切线，则m的取值范围为（B）A．(2,1)B．(3,2)C．(1,0)D．(0,1)4、设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ最小值为（B）A．1ln2B．2(1ln2)C．1ln2D．2(1ln2)最值问题综合问题切线问题在点处过点处斜率倾斜角切点三特征线与线点与点线与点求参问题恒成立问题存在性问题5、已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行，则a=。【解析】2()(21)fxaxax(0)x.(1)(3)ff，解得23a.6、设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax，则1299aaa的值为-2.1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)11298991...lg...lg...lg22399100100nnnxnyxnNyxynxynynxnxnaaaxxx解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标：7、定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。49【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为2222211|40|22d，曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为xy2，令12x得21x，所以C1：y=x2+a上的点为)41,21(a，点)41,21(a到到直线l:y=x的距离应为2，所以211|4121|22a，解得49a或47a（舍去）。8、已知函数(),()ln,Rfxxgxaxa，若曲线()yfx与曲线()ygx相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；【解析】1(),()(0)2afxgxxxx，由已知得ln,1,2xaxaxx解得2,2eaxe，∴两条直线交点的坐标为2(,)ee，切线的斜率为21()2kfee，∴切线的方程为21()2yexee9、设函数xaxxFln)(，]3,0(x，其图象上任意一点00(,)Pxy处切线的斜率k≤21恒成立，求实数a的取值范围。【解析】xaxxFln)(，]3,0(x，则有2000)('xaxxFk≤21，在]3,0(0x上恒成立，所以a≥max020)21(xx，]3,0(0x当10x时，02021xx取得最大值21，所以a≥2110、设函数1()(,)fxaxabZxb，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为3y。（1）求()yfx的解析式；（2）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线1x和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值。【解析】21()()fxaxb，于是2123210(2)abab，，解得11ab，，或948.3ab，因abZ，，故1()1fxxx．（2）证明：在曲线上任取一点00011xxx，．由0201()1(1)fxx知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)xxyxxxx．令1x得0011xyx，切线与直线1x交点为00111xx，．令yx得021yx，切线与直线yx交点为00(2121)xx，．直线1x与直线yx的交点为(11)，．从而所围三角形的面积为00000111212112222121xxxxx．所以，所围三角形的面积为定值2．11、已知2()2ln.Fxxxkx，若函数()Fx存在两个零点,(0)mnmn，且满足02xmn，问：函数()Fx在00(,())xFx处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.【解析】设()Fx在00(,())xFx的切线平行于x轴，其中2()2ln.Fxxxkx结合题意，有220002ln0,2ln0,2,220,mmkmnnknmnxxkx①—②得2ln()()().mmnmnkmnn所以02ln2.mnkxmn由④得0022.kxx所以2(1)2()ln.1mmmnnmnmnn⑤设(0,1)mun，⑤式变为2(1)ln0((0,1)).1uuuu设2(1)ln((0,1))1uyuuu，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)uuuuuyuuuuuu所以函数2(1)ln1uyuu在(0,1)上单调递增，因此，1|0uyy，即2(1)ln0.1uuu①②③④也就是，2(1)ln1mmnmnn，此式与⑤矛盾．所以()Fx在00(,())xFx处的切线不能平行于x轴．
