第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程一、基础达标1．(2014·周口高一检测)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案D解析由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.2．(2014·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为()A．x2＋(y－4)2＝25B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25D．(x＋4)2＋y2＝25答案A解析由题意，圆的半径r＝0－32＋4－02＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.3．与圆(x－3)3＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4答案A解析已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是()A．|a|<55B．|a|<1C．|a|≤55D．|a|≤1答案D解析由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.∴a2≤1，∴|a|≤1.5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1解析设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.6．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则x－12＋y－12的最大值为________．答案1＋2解析x－12＋y－12的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.7．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．解(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M12，12，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.由圆过P，Q点得：1－a2＋b2＝1a2＋1－b2＝1，解得a＝0b＝0或a＝1b＝1所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.二、能力提升8．(2014·绍兴高一检测)已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案B解析如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝2－02＋－3－02＝13.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.9．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为()A．2B．1C.3D.2答案B解析由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.10．已知实数x，y满足y＝9－x2，则t＝y＋3x＋1的取值范围是________．答案t≤－32或t≥34解析y＝9－x2表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，则kAB＝34，kAC＝－32，∴t≤－32或t≥34.11．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．解法一设点C为圆心， 点C在直线l：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又 该圆经过A、B两点，∴|CA|＝|CB|.∴2a＋3－22＋a＋32＝2a＋3＋22＋a＋52，解得a＝－2.∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由条件知2－a2＋－3－b2＝r2－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0解得a＝－1b＝－2，r2＝10故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.三、探究与创新12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？解能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将A，B，C三点的坐标分别代入得a2＋1－b2＝r2，2－a2＋1－b2＝r2，3－a2＋4－b2＝r2，解得a＝1，b＝3，r＝5.∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D(－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边，(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D点坐标适合此圆的方程．故A，B，C，D四点在同一圆上．13．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求x－22＋y－32的取值范围．解(1)法一如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B...
