全等三角形之辅助线（习题）例题示范例1：已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB边上一点，AD=AC，过点D作DE⊥AB，交BC于点E．求证：CE=DE．【思路分析】①读题标注：EDBCA②梳理思路：要证CE=DE，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明．观察图形，发现不存在全等的三角形．结合条件，AC=AD，∠C=∠ADE=90°，考虑连接AE，证明△ACE≌△ADE．【过程书写】证明：如图，连接AE∵DE⊥AB∴∠ADE=90°∵∠C=90°∴∠C=∠ADE在Rt△ACE和Rt△ADE中AEAEACAD（公共边）（已知）∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）∴CE=DE（全等三角形对应边相等）巩固练习1.已知：如图，B，C，F，E在同一条直线上，AB，DE相交于点G，且BC=EF，GB=GE，∠A=∠D．求证：DC=AF．过程规划：1．描述辅助线：连接AE2．准备条件：∠C=∠ADE=90°3．证明△ACE≌△ADE4．由全等性质得，CE=DEEDBCAEDBCA2.已知：如图，∠C=∠F，AB=DE，DC=AF，BC=EF．求证：AB∥DE．3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的中点．求证：BE=DF．DGCABEF过程规划：FEBADCFEBADC过程规划：4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，过O作EF交AD于点E，交BC于点F，则图中的全等三角形共有（）GFEDCBAFCBOEDAA．5对B．6对C．7对D．8对6.如图，C为线段AB上一点，△MAC和△NBC均是等边三角形，连接AN，交CM于点E，连接BM，交CN于点F．有下列结论：①∠AMB=∠ANB；②△ACE≌△MCF；③CE=CF；④EN=FB．其中正确结论的序号是_________________．NMEBAFC思考小结1.根据本章知识结构图回答下列问题：对应边___________；对应角___________．性质判定一般三角形全等判定：_________________________________直角三角形全等判定：_________________________________应用全等三角形全等图形（1）补全知识结构图．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑它们所在的三角形________；如果所在的三角形不全等或者不在三角形中，则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形．（3）要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．（4）由全等三角形的性质可知：全等三角形__________相等，__________相等，所以全等关系是转移边和角的有力工具．【参考答案】巩固练习1.证明：如图，过点G作GH⊥BE于点HHFEBACGD∵GH⊥BE∴∠GHB=∠GHE=90°在Rt△GHB和Rt△GHE中，GBGEGHGH（已知）（公共边）∴Rt△GHB≌Rt△GHE（HL）∴∠B=∠E（全等三角形对应角相等）∵BC=EF∴BC+CF=EF+CF即BF=EC在△ABF和△DEC中，ADBEBFEC（已知）（已证）（已证）∴△ABF≌△DEC（AAS）∴DC=AF2.证明：如图，连接BECDABEF在△AEF和△DBC中，AFDCFCEFBC（已知）（已知）（已知）∴△AEF≌△DBC（SAS）∴AE=DB（全等三角形对应边相等）在△ABE和△DEB中，AEDBABDEEBBE（已证）（已知）（公共边）∴△ABE≌△DEB（SSS）∴∠ABE=∠DEB（全等三角形对应角相等）∴AB∥DE3.证明：如图，连接BDCDABEF∵AB∥CD，AD∥BC∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD在△ABD和△CDB中，ABDCDBBDDBADBCBD（已证）（公共边）（已证）∴△ABD≌△CDB（ASA）∴AD=CB（全等三角形对应边相等）∵E，F分别是AD，BC的中点∴DE=BF在△BED和△DFB中，DEBFADBCBDBDDB（已证）（已证）（公共边）∴△BED≌△DFB（SAS）∴BE=DF（全等三角形对应边相等）4.证明：如图，ABCDEFG第7题图312在△DAE和△ABF中ADBADAEBAEBF（已知）∠∠（已知）（已知）∴△DAE≌△ABF（SAS）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∵∠DAB=90°∴∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°∴∠AGD=90°∴DE⊥AF5.B6.②③④思考小结1.（1）SAS，SSS，ASA，AASSAS，SSS，ASA，AAS，HL相等；相等．（2）全等（3）3，边；AAA反例：大小三角板；SSA反例：作图略（4）对应边，对应角．
