特殊三角形（习题）例题示范例1：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=60°．求证：△AEF是等边三角形．【思路分析】①读题标注：60°60°60°FEDCBA②梳理思路：要证△AEF是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF是等腰三角形即可，考虑证AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等．观察图形，连接AC，可以把线段AE和AF分别放在△ABE和△ACF中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°，∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．【过程书写】证明：如图，连接AC．∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD∴△ABC和△DAC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60°∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF∵∠EAF=60°∴∠2+∠3=60°∴∠1=∠2∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AE=AF∴△AEF是等边三角形巩固练习1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，连接DE，则∠BED的度数为________．FEDCBA32160°60°60°FEDCBADECBA2.如图，在△ABC的外部，分别以AB，AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，CD与BE交于点P，则∠BPC的度数为________．PEDCBA3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE=2，则AC的长是________．EDCBA4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB的中点，AD，CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE的度数为________．FEDCBA5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，过C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．求证：AB=2CD．DCBA6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC>90°，BD，CE分别为AC，AB边上的高，F为BC的中点，连接DE，DF，EF．求证：∠FED=∠FDE．7.已知：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．求证：EF=EG．GFEDCBAFEDCBA思考小结1.在做几何题目的时候，看到“直角+30°”，考虑30°角所对的直角边是___________________；看到“直角+中点”，考虑直角三角形_____________________________；看到“等腰+一线”，考虑等腰三角形___________．2.根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质：如图，在等腰直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，如果从等腰的角度出发，看到“等腰+高线”，考虑等腰三角形_________，所以得到AD=______；如果从直角的角度出发，看到“直角+中点”，考虑_____________________________，可以得到CD=______．综上可得，对于图中的等腰直角三角形ABC我们可以得到：CD=______=_______．DCBA【参考答案】1.45°2.90°3.64.60°5.证明：如图∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠B=15°∴∠ACB=15°∵∠DAC是△ABC的一个外角，∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°∵CD⊥AB∴∠D=90°在Rt△ADC中，∠D=90°，∠DAC=30°∴CD=12AC∴CD=12AB即AB=2CD6.证明：如图∵BD，CE分别为AC，AB边上的高∴∠BDC=∠CEB=90°∵F是BC的中点∴DF=12BC，EF=12BC∴DF=EF∴∠FED=∠FDE7.证明：如图，连接DE．∵AC=BC，∠ACB=90°∴∠A=45°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°，AD=12AB∴CD=12AB∴AD=CD∵E为AC中点∴DE=12AC=AE，DE⊥AC，∠1=45°∴∠AED=90°，∠A=∠1∴∠2+∠DEF=90°∵EF⊥BE∴∠3+∠DEF=90°∴∠2=∠3在△AEF和△DEG中123AEAED∴△AEF≌△DEG（ASA）∴EG=EF思考小结：321GFEDCBA1.斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一2.三线合一，BD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，12AB，AD，BD
