平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）课前预习1.如图，在△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，那么∠B=_____，∠A+∠B=_______，也就是∠A与∠B________（填“互余”、“互补”）．ABC2.如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，求证：∠AOD=∠BOC．DCBOA证明：如图，∵∠AOC=∠BOD=90°（_______________________）∴∠AOD=∠BOC（_______________________）知识点睛1.三角形的内角和等于__________．已知：如图，△ABC．求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．AMBC12N证明：_______，___________________________．∵MN∥BC（已作）∴∠B=∠1，∠C=∠2（_______________________）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（_______________________）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（_______________________）2.直角三角形两锐角___________．精讲精练1.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD=__________．BDACFEDCBA第1题图第2题图2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F．若∠AED=140°，则∠C=_____，∠BDF=______，∠A=______．3.如图，AE∥BD，∠1=110°，∠2=30°，则∠C=______．21EDCBAFDAEBC题图第3题图第4题图4.如图，AD∥BC，AB∥CD，E在CB的延长线上，EF经过点A，∠C=50°，∠FAD=60°，则∠EAB=_______．5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=75°，∠ADE=35°，则∠EDC=_________．6.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°，AD⊥BC于点D，求∠DAC的度数．解：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°（已知）∴∠C=180°-______-______=180°-_____-_____=______（_______________________）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADC=90°（垂直的定义）∴∠C+_____=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC=90°-______=90°-______=______（_______________________）7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=∠BCD．证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+_____=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）ABDCABCDEDCBA∴∠CDB=90°（垂直的定义）∴_____+∠B=90°（______________________）∴∠A=∠BCD（______________________）8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是边AC上一点，DE∥BC，∠1=60°，求∠A的度数．ADE1BC9.如图，BD∥AE交△ABC的边AC于点F，∠CAE=95°，∠CBD=30°，求∠C的度数．ABCDEF10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．求证：∠1=∠2．【参考答案】课前预习1.60°，90°，互余2.已知，同角的余角相等知识点睛1.180°如图，过点A作MN∥BC两直线平行，内错角相等平角的定义等量代换2.互余精讲精练1.29°21FEDCBA2.50°，40°，80°3.40°4.70°5.35°6.解：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°（已知）∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-68°=72°（三角形的内角和等于180°）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADC=90°（垂直的定义）∴∠C+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC=90°-∠C=90°-72°=18°（等式的性质）7.证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）∴∠CDB=90°（垂直的定义）∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）8.解：如图，∵DE∥BC（已知）∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠1=60°（已知）∴∠B=60°（等量代换）∵∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°（等式的性质）9.解：如图，∵BD∥AE（已知）∴∠CFD=∠CAE（两直线平行，同位角相等）∵∠CAE=95°（已知）∴∠CFD=95°（等量代换）∴∠CFB=180°-∠CFD=180°-95°=85°（平角的定义）在△CBF中，∠CBD=30°，∠CFB=85°（已知）∴∠C=180°-∠CBD-∠CFB=180°-30°-85°=65°（三角形的内角和等于180°）10.证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠CAF+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）∴∠EDA=90°（垂直的定义）∴∠DAE+∠AED=90°（直角三角形两锐角互余）∵AF平分∠CAB（已知）∴∠CAF=∠DAE（角平分线的定义）∴∠2=∠AED（等角的余角相等）∵∠1=∠AED（对顶角相等）∴∠1=∠2（等量代换）
