第1页共11页专题一:函数的周期性(一)函数的周期性对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,则为周期函数,为这个函数的一个周期。若为一个周期,则也为周期。若周期函数的正周期中有一个最小者,这个周期就叫最小正周期。(1)已知函数对任意实数,都有,则是的一个周期。证明:因为,所以,,所以是以为周期的周期函数。(2)已知函数对任意实数,都有,则是的一个周期。证明:因为,令,则,于是对于恒成立,所以是以为周期的周期函数。(3)已知函数对任意实数,都有,则是的一个周期。证明:由已知,所以是以为周期的周期函数。(4)已知函数对任意实数,都有,则是的一个周期。证明:由已知,于是,所以是以为周期的周期函数。如:还有“”、“”等也是周期函数。第2页共11页(二)函数的对称性与周期性及关系:(1)函数对于定义域上的任意,如果都有或,则函数关于直线对称,反之也成立。(2)函数对于定义域上的任意,如果都有或,则函数关于点对称,反之也成立。(3)一般地,函数有两种及以上的对称性时,则函数是周期函数。(详见补充中的定理3)如:已知函数对任意实数,都有且,则是的一个周期。证明:不妨设,于是,∴是的一个周期;当时同理可得。所以,是的周期。补充:定理1:函数的图象关于点对称的充要条件是。证明:(必要性)设点是图象上任一点, 点关于点的对称点也在图象上,∴,即,故,必要性得证。(充分性)设点是图象上任一点,则, ,∴,即。故点也在图象上,而点与点关于点对称,充分性得征。推论:函数的图象关于原点对称的充要条件是。定理2:函数的图象关于直线对称的充要条件是,即。(证明留给读者)第3页共11页推论:函数的图象关于轴对称的充要条件是。定理3:①若函数图象同时关于点和点成中心对称,则是周期函数,且是其一个周期。②若函数图象同时关于直线和直线成轴对称,则是周期函数,且是其一个周期。③若函数图象既关于点成中心对称又关于直线成轴对称,则是周期函数,且是其一个周期。①的证明留给读者,②已证明,以下给出③的证明: 函数图象既关于点成中心对称,∴,用代得:…………(*)又 函数图象直线成轴对称,∴代入(*)得:…………(**),用代得代入(**)得:,故是周期函数,且是其一个周期。1.函数的周期性:例1.已知是实数集上的函数,且对任意恒成立(1)求证:是周期函数;(2)已知,求的值。第4页共11页变式训练(1)设偶函数对任意,都有,且当时,,则的值是()(A)(B)(C)(D)(2)已知,定义,则()A.B.C.D.2.函数奇偶性、周期性、对称性与综合应用:例2.(1)定义在上的函数的图象关于点成中心对称,对任意的实数都有,且,则的值为()A.B.C.0D.1(2)已知是定义在上的且以2为周期的偶函数,当时,,如果直线与曲线恰有两个交点,则实数的值是()A.B.C.或D.以上答案都不对(3)已知函数()fx是定义域为R的周期为3的奇函数,且当(0,1.5)x时2()ln(1)fxxx,则方程()0fx在区间[0,6]上的解的个数是。(4)定义在R上的偶函数满足:第5页共11页①对任意都有成立;②;③当且时,都有.则:(Ⅰ);(Ⅱ)若方程在区间上恰有3个不同实根,则实数的取值范围是________。例3.设函数在上满足,且在闭区间上,只有。(1)试判断函数的奇偶性;(2)试求方程在闭区间上的根的个数,并证明你的结论。例4.已知函数是定义域为的奇函数,且它的图象关于直线对称。(1)求的值;(2)证明函数是周期函数;(3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。第6页共11页例5.函数是定义在上的偶函数,且对任意实数,都有成立。当时,。(1)求时,函数的表达式;(2)求时,函数的表达式;(3)若函数的最大值为,解关于的不等式。例6.设是定义在区间上的函数,若对任何实数以及中的任意两个实数恒有则称为定义在上的“函数”.(1)试判断函数是否为各自定义域上的函数,并说明理由;(2)若是定义域为的函数,且最小正周期为,试证明不是上的函数.第7页共11页课后作业1.设是上的奇函数,,当时,,则()A.B.C.D.2.已知函...