张量基础知识VIP免费

第二章张量的基本知识张量的提出：晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方法，这种方法就是张量方法。在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义的张量。2.1标量、矢量、张量一、标量在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把这种物理量称为标量。有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类点操作时发生改变，这称为赝标量。二、矢量有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量，在三个坐标轴方向上的投影分别为，于是我们将表为：。与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量（磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。f3,2,1ffff)(3,2,1ffff三、张量先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律其中σ为电导率，是标量。但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具有相同的方向，此时J与E的关系变为EJ333232131332322212123132121111EEEJEEEJEEEJ或表示成分量形式矩阵形式)3,2,131iEJjjiji（321333231232221131211321EEEJJJ此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定律可表示为张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分量来描述，这种物理量就是二阶张量。EJ3332312322211312112.2张量的数学定义描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换，但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换时分量变换的规律。一、坐标变换如图所示，设有直角坐标系OX1X2X3，其三个方向的单位矢为,经过旋转变换为新的坐标系OX'IX'2X'3，在新的坐标系里的单位矢为,令新坐标系中在旧坐标系中的方向余弦为（j=1,2,3)，则321,,eee321',','eeeija333232131332322212123132121111'''eaeaeaeeaeaeaeeaeaeae或简写为反之，有)3,2,1'31ieaejjiji（)3,2,1('31ieaejjjii321333231232221131211321'''eeeaaaaaaaaaeee表示成矩阵形式为)'cos(jiijeea将以上关系列成方阵形式则为X1X2X3(老坐标轴)（新坐标系）X1'a11a12a13X2'a21a22a23X3'a31a32a33称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵，它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。二、矢量分量的变换设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个矢量p,故有332211332211******epepepepepepp321321321333231232221131211*3*2*1*3*2*1*3*2*1eeePPPeeeaaaaaaaaaPPPeeePPPAPP*1*PAP注：此处P与P*均为行向量即为于是得为了表示方便我们下面引入指标符号的概念指标符号：),,(n21ixi下标符号i称为指标；n为维数指标i可以是下标，如xi也可以是上标，如xinxx,x21记作定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标xi（i=1,2,3）～x1，x2，x3～x,y,zui（i=1,2,3）～u1，u2，u3～...