清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-02张量VIP免费

1冯西桥冯西桥清华大学工程力学系清华大学工程力学系2007.09.21第二章张量分析初步第二章张量分析初步FundamentalsofTensorAnalysisFundamentalsofTensorAnalysis2目录引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量AppendixA3引言广义相对论（1915）、理论物理连续介质力学（固体力学、流体力学）现代力学的大部分文献都采用张量表示AppendixA主要参考书:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.4张量基本概念标量（零阶张量）例如：质量，温度质量密度应变能密度，等其值与坐标系选取无关。AppendixA.15矢量（一阶张量）位移，速度，加速度，力，法向矢量，等AppendixA.1e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p10ijijijee张量基本概念6矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为31122331iiuuuuiueeeeAppendixA.1其中u1,u2,u3是u的三个分量，e1,e2,e3是单位基矢量。e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p张量基本概念7矢量AppendixA.1e3=ke1=ie2=jx2=yx3=zx1=xuu3e3u2e2u1e1p既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则张量基本概念8矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u分解式记法：分量记法：AppendixA.1iu31122331iiuuuuiueeee张量基本概念9AppendixA.1指标符号用法1.三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。2.两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：31122331=iiiababababab张量基本概念10爱因斯坦求和约定如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。AppendixA.13112233131122331===iiiiiiiiuuuuuabababababiiueeeeeab张量基本概念11AppendixA.1由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：=jjmmababab只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围和i相同。iiabab=ba=张量基本概念12约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标i,j,k,…表示三维指标，取值1,2,3;希腊指标,,,…均为二维指标，取值1,2。张量基本概念13张量基本概念112233112233===iikkuuuuababababueeeeab拉丁指标11221122===uuuabababueeeab希腊指标14张量基本概念二阶张量应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。三阶张量压电张量，等。四阶张量弹性张量，等。AppendixA.115二阶（或高阶）张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量低阶张量的梯度低阶张量的并积更高阶张量的缩并，等。AppendixA.1张量基本概念16张量基本概念应力张量AppendixA.117张量的三种记法：实体记法：分解式记法：分量记法：AppendixA.1ij111112121313212122222323313132323333++eeeeeeeeeeeeeeeeee张量基本概念18爱因斯坦求和约定AppendixA.1112233ijjiiiinnnnT张量基本概念1111221331nnnT2112222332nnnT3113223333nnnT19AppendixA.1采用指标符号后，线性变换表示为111112213312211222233233113223333jjjjjjxaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxax利用爱因斯坦求和约定，写成：iijjxax其中j是哑指标，i是自由指标。张量基本概念21AppendixA.1在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：,0jijif若i为自由指标,0jijiif张量基本概念★22AppendixA.1自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。例如：表达式在自由指标i取1，2，3时该式始终成立，即有iijjxax111112213312211222233233113223333jjjjjjxaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxax...