等腰三角形的性质与判定【知识梳理】1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．(2)三线合一：即．(3)等腰三角形是图形．3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．【例题讲解】例1等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求证：△DBC是等腰三角形．例3如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．求证：∠C=∠D．例4如图，AB=AC，BD⊥AC于D．求证：∠BAC=2∠DBC．例5有关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD平分∠AOB，DE∥OB交OA于E．求证：EO＝ED．提问：这个结论的逆命题是否正确？（2）如图3，若OD平分∠AOB，EO＝ED，求证：DE∥OB．（3）如图3，若DE∥OB交OA于E，EO＝ED，求证：OD平分∠AOB．总结：图3是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有帮助的．有关的题组练习．（1）如图4，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．（2）已知：如图5（a），AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b），若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图5（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d）．推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e）．（5）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF的周长．DCBAEDCBADCBA3334【课后巩固】1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．2．若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3．若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若∠CAD=25°，则∠ABE=，若BC=6，则CD=．5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________．7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD．AE，则∠DAE=_______．EDCBA8．如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是．9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=______10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC的高，它们相交于H，且AE=BE．求证：AH=2BD．12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°．求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．13．如图，点D、在的边上，，．求证：14．如图，，，且．求的度数．15.如图，中，，于，平分交于，交于，求证：是等腰三角形．16．Rt中，，，为中点，若点．分别在线段．上移动，且在移动过程中保持，试判断的形状，并证明你的结论．17.已知：如图，△ABC中，D在AB上，E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于M，MD＝ME，求证：△ABC是等腰三角形．18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数．EDCBAPQMNG3536EMDCBA36
