晶体的对称性重点:1)基本的对称操作;2)宏观对称类型;3)微观对称类型;1.对称的概念对称就是物体相同部分有规律的重复。此外,对称的图形还必须符合另一个条件,那就是这些相同的部分,通过一定的对称操作(如旋转、反映、镜面)可以发生重复;换句话说也就是相同的部分通过一定的操作彼此可以重合起来,使图形恢复原来的形象。对称操作是指凭借对称要素能够使对称物体中的各个相同部分,作有规律重复的变换动作。而对称要素则是指在进行对称操作时所凭借的几何要素——点、线、面等。2.晶体对称性的判定由于晶体的自限性,使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体的宏观形态上,晶体表现出对称性。对于外表具有很多晶面的晶体,往往不能直接判别它的对称特征,必须经过测角和投影以后,才可对它的对称规律进行分析研究。通过对大量晶体进行测角和投影,归纳成32种典型的宏观对称类型。由于在宏观对称类型,全部对称要素相交于一点(晶体中心),在进行对称操作时至少有一点不移动,因此称之为点群。该点群中的对称操作中不包括平移。而若对称操作中包括平移,共构成了230中微观的对称类型。所有以上的对称类型都源于以下基本对称操作的组合。3.基本的对称操作1)简单对称操作的变换关系(a)线性变换:和刚体一样,晶格中任何两点间的距离,在操作前后应保持不变,在数学上表示,这些操作就是熟知的线性交换。注意:在讨论晶体问题时,一般应采用斜坐标系,但为方便起见,这里采用直角坐标系,并不会影响结论的正确性。设经过某个操作,把晶体中任一点x变为x´,该操作可以表示为线性变换:x´j=∑ajixi,(i,j=1,2,3)式中x=ix1+jx2+kx3x´=ix1´+jx2´+kx3若采用矩阵表示:x´=Ax其中x’=x='3'2'1xxx321xxxA=333231232221131211aaaaaaaaax1x3x2θα(x1’,x2’,x3’)(x1,x2,x3)由于操作前后,两点间的距离保持不变,即2322212'32'22'1xxxxxxxxAxAx而AxAxAxAxxxxxx'2'22'32'22'1xxxxx232221所以IAA其中I是单位矩阵,所以得出A为正交矩阵。如令代表矩阵A的行列式,则得到A1AA又AA12A所以1A(b)转动x1x3x2θα(x1’,x2’,x3’)(x1,x2,x3)将某一图形绕x1转过θ角,该图形中任一点(x1,x2,x3)变为另一点(x1’,x2’,x3’),则变换关系如下:x1’=x1x2’=)cos(cos2xcos)sinsincos(cos2xsincossincos3222xxtgxxx3’=)sin(cos2xcos)sincoscos(sin2xcossincossin3222xxtgxx则正交变换'3'2'1xxx321xxxcossin0sincos0001正交矩阵A为cossin0sincos0001A1A(c)中心反演取中心为原点,经过中心反演后,图形中任一点(x1,x2,x3)变为另一点(-x1,-x2,-x3),则变换关系如下x1’=-x1,x2’=-x2,x3’=-x3则正交变换'3'2'1xxx321xxx正交矩阵A为1A100010001100010001A(d)镜像x1x3x2(x1,x2,x3)(x1,x2,-x3)镜像对称操作是将图形的任一点(x1,x2,x3)变为另一点(x1,x2,-x3),即以x3=0面作为镜面。则变换关系如下:x1’=x1,x2’=x2,x3’=-x3则正交变换'3'2'1xxx321xxx正交矩阵A为1A100010001100010001A2)基本的对称操作(a)n度旋转对称轴如果晶体绕某一对称轴旋转θ=2π/n以后自身能重合,则称该轴为n度旋转对称轴。由于晶格周期性的限制,晶体可能的转动讨论如下。由于晶格的对称操作并不涉及到晶格的平移,在操作时应至少保持一点不同,所以采用双转轴来推导晶体的旋转对称轴,存在一定的局限性,应采用单转轴推导方法。A1ABB1AB如图A、O、B是某一晶列上相邻的三个格点,周期为a。如果绕过O点垂直于晶列的转轴顺时针转θ角,A转到A1,晶体自身重合,则A1点必为...