情形一:积分区域关于坐标轴对称定理4 设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1）当（即是关于的奇函数）时,有 .2）当（即是关于的偶函数）时，有 。 其中是由轴分割所得到的一半区域。例5 计算，其中为由与围成的区域。解：如图所示，积分区域关于轴对称，且即是 关 于的 奇 函 数 ， 由 定 理 1 有。类似地，有：定理5 设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，则其中是由轴分割所得到的一半区域。例 6 计 算其 中为 由所围.解：如图所示，关于轴对称，并且，即被积分函数是关于轴的偶函数，由对称性定理结论有：.定理6 设二元函数在平面区域连续，且关于轴和轴都对称，则（1)当或时，有 。（2）当时,有其中为由轴和轴分割所的到的1/4区域。9例7 计算二重积分，其中： .解:如图所示,关于轴和轴均对称，且被积分函数关于和是偶函数,即有，由定理2，得其 中是的 第 一 象 限 部 分 ， 由 对 称 性 知 ，，故。情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域,且关于原点对称,则当上连续函数满足1）时，有2）时,有。 例8 计算二重积分，为与所围区域.解：如图所示，区域关于原点对称,对于被积函数，有,有定理7,得。情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且，关于直线对称，则1）； .2）当时,有.3)当时，有.例9 求,为所围。解：积分区域关于直线对称,由定理8,得,故 .类似地，可得：定理9 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称,则 （1）当,则有;（2）当，则有.例10 计算，其中为区域:， 。解：如图所示，积分区域关于直线对称，且满足，由以上性质,得:.注：在进行二重积分计算时，善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避开繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。
