第4讲数系的扩充与复数的引入[基础题组练]1．(2020·温州七校联考)复数在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C.＝＝＝－－i，其在复平面上对应的点位于第三象限．2．(2020·金华十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为()A.B.－1C．1D.解析：选A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的实部为，故选A.3．若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则|z|＝()A.B.C.D.解析：选C.z＝＝⇒|z|＝.4．如果复数z满足|z＋1－i|＝2，那么|z－2＋i|的最大值是()A.＋2B．2＋iC.＋D.＋4解析：选A.复数z满足|z＋1－i|＝2，表示以C(－1，1)为圆心，2为半径的圆．|z－2＋i|表示圆上的点与点M(2，－1)的距离．因为|CM|＝＝.所以|z－2＋i|的最大值是＋2.故选A.5．(2020·杭州市学军中学联考)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解析：选D.＝(x－xi)＝1－yi，所以解得x＝2，y＝1，故选D.6．(2020·金丽衢十二校联考)已知复数z＝x＋(x－a)i，若对任意实数x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.解析：选C.因为z＝x＋(x－a)i，且对任意实数x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|，所以>对任意实数x∈(1，2)恒成立．即2(x－a)＋1<0对任意实数x∈(1，2)恒成立．所以a>x＋(10恒成立，则实数t的取值范围是________．解析：当a≥2时，复数z＝＝＝a－ai，|z|＝＝2a.当a≥2时，|z|2＋t|z|＋4>0恒成立，则4a2＋2at＋4>0，化为：t>＝－2.令f(a)＝a＋(a≥2)，f′(a)＝1－>0，所以f(a)在a≥2时单调递增，所以a＝2时取得最小值.所以t>－5.答案：(－5，＋∞)5．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋是实数，所以b－＝0.又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0.②由解得或故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.34
