高考数学总复习 第九单元 解析几何 第58讲 椭圆检测-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第58讲椭圆1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件m>n>0⇒<，所以＋＝ny2＋mx2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦然，故选C.2．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(A)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，即＝，又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.3.已知F1,F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A(1，)在椭圆C上，|AF1|＋|AF2|＝4,则椭圆C的离心率是(D)A.B.C.D.|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，所以a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1，又点A(1，)在椭圆C上，所以＋＝1，得b＝1，又c＝＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.4．(2017·新课标卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(A)A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)当03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．5．(2017·石家庄市第一次模拟)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为2＋2_.因为F1(－c,0)关于直线y＝－x的对称点P(0，c)在椭圆上，所以c2＝1，c＝1，易知b＝1，所以a＝.所以周长为2c＋2a＝2＋2.6．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为(－，).由题意知F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，则PF1＝(－－x0，－y0)，PF2＝(－x0，－y0)，所以PF1·PF2＝x－5＋y<0.①又＋＝1，②由①②得x<，所以－b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，若AF2·F1F2＝0，椭圆的离心率为，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．因为AF2·F1F2＝0，所以AF2⊥x轴．设点A的坐标为(c，y)(y>0)，将(c，y)代入＋＝1得y＝，所以S△AOF2＝·c·＝2，又e＝＝，所以b2＝2，所以b2＝8.由＝，设c＝k，a＝2k(k>0)，则4k2＝8＋2k2，所以k＝2，所以a＝4，b2＝8，所以椭圆方程为＋＝1.8．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为(B)A．20B．15C．10D．5因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15，当P在MF2的延长线上取等号．9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是.将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，所以x＝±a，故B(－a，)，C(a，)．又因为F(c,0)，所以BF＝(c＋a，－)，CF＝(c－a，－)．因为∠BFC＝90°，所以BF·CF＝0，所以(c＋a)(c－a)＋(－)2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．10．已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若P是椭圆C上任意一点，Q为圆E：x2＋(y－2)2＝1上任意一点，求PQ的最大值．(1)由题设知e＝，所以e2＝＝＝＝＝，解得a2＝6.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)圆E：x2＋(y－2)2＝1的圆心为E(0,2)，点Q在圆E上，所以PQ≤EP＋EQ＝EP＋1(当且仅当直线PQ过点E时取等号)．设P(x0，y0)是椭圆C上的任意一点，则＋＝1，即x＝6－3y.所以EP2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.因为y0∈[－，]，所以当y0＝－1时，EP2取得最大值12，即PQ≤2＋1.所以PQ的最大值为2＋1.