2.3.3空间向量运算的坐标表示[A.基础达标]1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B的坐标分别为A(1，2，2)，B(2，－2，1)，则|AB|＝()A．18B．12C．3D．2解析：选C.AB＝(1，－4，－1)，|AB|＝|AB|＝＝3.2.若ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(－3，7，－5)，则顶点D的坐标为()A.B．(2，3，1)C．(－3，1，5)D．(－1，13，－3)解析：选D.设D(x，y，z)，因为AB＝DC，所以(－2，－6，－2)＝(－3－x，7－y，－5－z)，所以所以3．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．0°B．60°C．30°D．90°解析：选D.因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝cos2α＋1＋sin2α－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，所以cos〈a＋b，a－b〉＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°.4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，d＝(1，0，－1)，则其中共面的三个向量是()A．a，b，cB．a，b，dC．a，c，dD．b，c，d解析：选B.因为a＝b＋d，所以a，b，d三向量共面．5．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为()A．17或－1B．－17或1C．－1D．1解析：选B.a·b＝4－λ，|a|＝，|b|＝，由题意得cos60°＝，即＝，解之得λ＝1或λ＝－17.6．已知a＝(m＋1，0，2m)，b＝(6，0，2)，a∥b，则m的值为________．解析：因为a∥b，所以a＝λb，即得答案：7．已知a＝(1－t，2t－1，0)，b＝(2，t，t)，t∈R，则|b－a|的最小值为________．解析：因为b－a＝(1＋t，1－t，t)，所以|b－a|＝＝≥.答案：8．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·x＝－18的向量x＝________．解析：因为a∥x，所以x＝λa＝(2λ，－λ，2λ)，所以a·x＝2·2λ＋(－1)·(－λ)＋2·2λ＝9λ＝－18，得λ＝－2，故x＝(－4，2，－4)．答案：(－4，2，－4)9．已知在△ABC中，A(2，－5，3)，AB＝(4，1，2)，BC＝(3，－2，5)，求顶点B，C的坐标，向量CA及∠A的余弦值．解：设B，C两点的坐标分别为(x，y，z)，(x1，y1，z1)．因为AB＝(4，1，2)，所以解得所以B点坐标为(6，－4，5)．因为BC＝(3，－2，5)，所以解得所以C点坐标为(9，－6，10)．所以AC＝(7，－1，7)，CA＝(－7，1，－7)．所以cosA＝＝＝＝.10.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.(1)求向量OD的坐标；(2)设向量AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值．1解：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝.所以DE＝CD·sin30°＝.OE＝OB－BD·cos60°＝1－＝，所以D点坐标为，即向量OD的坐标为.(2)依题意知OA＝，OB＝(0，－1，0)，OC＝(0，1，0)．所以AD＝OD－OA＝.BC＝OC－OB＝(0，2，0)．由于向量AD和BC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.所以cosθ＝－.[B.能力提升]1．已知向量OA＝(2，－2，3)，向量OB＝(x，1－y，4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则(x，y，z)＝()A．(－2，－4，－1)B．(－2，－4，1)C．(－2，4，－1)D．(2，－4，－1)解析：选A.由题意得即2．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B.C．4D．2解析：选A.设AD＝λAC，其中λ∈R，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)，所以x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.所以BD＝(－4，4λ＋5，－3λ)．所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.所以λ＝－，所以BD＝(－4，，)．所以|BD|＝＝5.3．设AB＝(cosα＋sinα，0，－sinα)，BC＝(0，cosα，0)，则|AC|的最大值为________．解析：AC＝AB＋BC＝(cosα＋sinα，cosα，－sinα)，所以|AC|＝＝≤.答案：4．已知a＝2(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则λ的值为________．解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x，y)使得a＝xb＋yc，即(4，－2，6)＝(－x，4x，－2x)＋(7y，5y，λy)，即解得答案：5．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1，1，3)，b＝(1，0，－2)，c＝a＋tb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的条件下，求b和c夹角的余弦值．解：...
