2.2抛物线的简单性质课后训练案巩固提升A组1.已知抛物线y2=ax(a≠0)的准线是x=-1,则它的焦点坐标是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)解析: 准线为x=-=-1,∴a=4,即y2=4x.∴焦点坐标为(1,0).答案:A2.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若=0,则||+||+||等于()A.6B.4C.3D.2解析:由=0,知F为△ABC的重心,由抛物线方程知,F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),∴x1+x2+x3=3.又||+||+||=x1+x2+x3+p=3+3=6.答案:A3.已知直线l过抛物线y2=8x的焦点且与它交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.7B.5C.8D.10解析:焦点为F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×3=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10.答案:D4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于()A.4B.8C.8D.16解析:直线AF的方程为y=-(x-2),联立得y=4,所以点P的坐标为(6,4).由抛物线的性质,得|PF|=|PA|=6+2=8.答案:B15.过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若点A,B在抛物线的准线上的射影分别为A1,B1,则∠A1FB1为()A.45°B.60°C.90°D.120°解析:设抛物线的方程为y2=2px(p>0).如图, |AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∴∠AA1F=∠AFA1,∠BFB1=∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B,∴∠A1FO=∠FA1A,∠B1FO=∠FB1B.∴∠A1FB1=∠AFB=90°.答案:C6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是(要求填写适合条件的序号).解析:由抛物线的方程为y2=10x,知它的焦点在x轴上,∴②适合.又 抛物线的焦点坐标为F,原点O(0,0),设点P(2,1),可得kPO·kPF=-1,∴⑤也适合.而①显然不适合,通过计算可知③④不合题意.∴应填序号为②⑤.答案:②⑤7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是.解析:有两个顶点关于x轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是.可设三角形的边长为a,x轴上方的顶点为,代入抛物线方程,得x0=6.由a=6,得边长a=12.2答案:128.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是.解析: 点(x,y)在抛物线y2=4x上,∴x≥0. z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴当x=0时,z最小,其最小值为3.答案:39.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解将l和C的方程联立,得消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)(1)当k=0时,方程(*)只有一个解x=,y=1.∴直线l与C只有一个公共点,此时直线l平行于x轴.(2)当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程.①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;当k>1时,直线l与C没有公共点.10.导学号90074069已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)求证:点F在直线BD上;(2)设,求直线l的方程.解设直线l与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则点D的坐标为(x1,-y1).由题意,得l的方程为x=my-1(m≠0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x,并整理,得y2-4my+4=0.从而y1+y2=4m,y1y2=4.①直线BD的方程为y-y2=·(x-x2),即y-y2=.令y=0,得x==1.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由①知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.3因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=,解得m=±.所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.B组1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则为()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于x轴时,A,B=-4.(方法二)①当直线斜率不存在时,直线方程为x=.由得交点坐标.∴x1x2=,y1y2=-p2,=-4.②当直线斜率存在时,直线方程为y=k.由得y2-y-p2=0.∴y1y2=-p2,x1x2=,则=-4.答案:B2.导学号90074070如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,...
