第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及其坐标表示课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)．答案：B2．e1，e2是平面内一组基底，那么()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解析：对于A， e1，e2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B，空间向量a应改为与e1，e2共面的向量才可以；C中，λ1e1＋λ2e2一定与e1，e2共面；D中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是惟一一对．答案：A3．(2016·郑州质检)已知△ABC中，平面内一点P满足CP＝CA＋CB，若|PB|＝t|PA|，则t的值为()A．3B.C．2D.解析：由题意可知PB＝CB－CP＝CB－＝(CB－CA)＝AB，同理可得PA＝－AB，∴|PB|＝2|PA|，即t＝2.答案：C4．(2015·高考江苏卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析： ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴∴∴m－n＝2－5＝－3.答案：－35．(2016·荆州模拟)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.解析：AB＝(4－k，－7)，AC＝(－2k，－2)， A，B，C三点共线，∴－2(4－k)－14k＝0，解得k＝－.答案：－6．(2016·江西南昌模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为__________．解析：由ma＋nb＝c，可得故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在单位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.答案：167．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)， A、B、C三点共线，∴AB∥AC，∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2) AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，∴解得∴点C的坐标为(5，－3)．8．在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝b.在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE＝pOA，OF＝qOB.求证：＋＝1.证明：设OM＝ma＋nb，则AM＝(m－1)a＋nb，AD＝－a＋b. A、M、D共线，即AM与AD共线，∴＝，得m＋2n＝1.① CM＝OM－OC＝a＋nb，CB＝－a＋b，又C、M、B共线，即CM与CB共线，∴＝，得4m＋n＝1，②由①②可得m＝，n＝.∴OM＝a＋b.EM＝a＋b，EF＝－pa＋qb， EF与EM共线，∴＝.∴q－pq＝－p，即＋＝1.[B级能力突破]1．(2015·高考湖南卷)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为()A．6B．7C．8D．9解析：法一：AC为Rt△ABC的斜边，则AC为圆x2＋y2＝1的一条直径，故AC必经过原点，如图，则PA＋PC＝2PO，|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|≤2|PO|＋|PB|，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(－1,0)处时|PA＋PB＋PC|取得最大值，此时，PO＝(－2,0)，PB＝(－3,0)，2|PO|＋|PB|＝2×2＋3＝7，故|PA＋PB＋PC|的最大值为7.法二：同法一，得|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|.又PB＝OB－OP，∴|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋OB－OP|＝|OB－3OP|＝＝＝≤＝7，当且仅当∠POB＝180°时取“等号”，故|PA＋PB＋PC|的最大值为7.法三：同解析一，得|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|.设B(cosα，sinα)，则|2PO＋PB|＝|2(－2,0)＋(cosα－2，sinα)|＝|(－6＋cosα，sinα)|＝＝≤＝7(当cosα＝－1，即B落在点(－1,0)处时取等号)．故|PA＋PB＋PC|的最大值为7.答案：B2．(2016·保定模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120...
