【状元之路】2016届高考数学理一轮总复习第8章解析几何练习7（含解析）新人教A版1．[2014·课标全国Ⅰ]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.B.C．3D．2解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.答案：C2．[2014·课标全国Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图像可得O到直线AB的距离d＝sin30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.答案：D3．[2014·辽宁]已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.解析：∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即，得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得，即B(8,8)，又F(2,0)，∴kBF＝＝，故选D.答案：D4．[2014·四川]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.解析：设点A的坐标为(a2，a)，点B的坐标为(b2，b)，直线AB的方程为x＝ty＋m，与抛物线y2＝x联立得y2－ty－m＝0，故ab＝－m，由OA·OB＝2得a2b2＋ab＝2，故ab＝－2或ab＝1(舍去)，所以m＝2，所以△ABO的面积等于m|a－b|＝|a－b|＝|a＋|，△AFO的面积等于×|a|＝，所以△ABO与△AFO的面积之和等于|a|＋||≥2＝3，故选B.答案：B5．[2014·湖南]如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝__________.解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.答案：1＋
