湖南省株洲二中2014-2015学年高二下学期入学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共计50分，每小题只有一个正确答案．请将答案填入答题卷中的相应位置．）1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）命题“若x≥a2+b2，则x≥2ab”的逆命题是（）A．若x＜a2+b2，则x＜2abB．若x≥a2+b2，则x＜2abC．若x＜2ab，则x＜a2+b2D．若x≥2ab，则x≥a2+b23．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）4．（5分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于P（，y0），则cos2α=（）A．﹣B．1C．D．﹣5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．0C．1D．36．（5分）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）A．12B．24C．36D．727．（5分）若θ=（0≤k≤10，k∈Z），则sinθ+cosθ≥1的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．﹣56B．﹣35C．35D．569．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1B．3：2：2C．：2：1D．：1：2110．（5分）对于一个有限数列p=（p1，p2，…，pn），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中Sk=p1+p2+…+pk（1≤k≤n，k∈N）．若一个99项的数列（p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为（）A．991B．992C．993D．999二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分，请将答案填入答题卷中的相应位置．）11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．12．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=．13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．14．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为．15．（5分）椭圆（a＞b＞0）且满足a≤，若离心率为e，则e2+的最小值为．2三、解答题（本大题共6个小题，共计75分，答题应写出详细的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．18．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4．DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求平面A1BE与平面A1BC所成二面角的大小．19．（13分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣1，设bn=2（log2an+1），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn•an}的前n项和Tn；（3）证明：对于任意n∈N+，不等式••…•＞恒成立．20．（13分）已知椭圆C过点A（1，），两焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），O是坐标原点，不经过原点的直线l：y=kx+m与椭圆交于两不同点P、Q．（1）求椭圆C的方程；（2）当k=1时，求△OPQ面积的最大值；（3）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率k．21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣ax在x=2处的切线l与直线x+2y﹣3=0平行．（1）求实数a的值；3（2）若关于x的方程f（x）+m=2x﹣x2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（3）记函数g（x）=f（x）+﹣bx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．湖南省株洲二中2014-2015学年高二下学期入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共计5...
