2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理A级基础巩固一、选择题1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．答案：B2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定解析：因为a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)．所以a＋b与c共线．答案：B3．已知AD是△ABC的BC边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AD＝()A.(a－b)B．－(a－b)C．－(a＋b)D.(a＋b)解析：如图所示，因为AE＝AB＋AC＝2AD，所以AD＝(a＋b)．答案：D4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有CD＝CA＋λCB，则λ＝()A.B.C．－D．－解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使AD＝tAB，则CD－CA＝t(CB－CA)，即CD＝CA＋t(CB－CA)＝(1－t)CA＋tCB，所以解之得λ＝－.答案：C5．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP＝()A．a＋λbB．λa＋(1－λ)b1C．λa＋bD.a＋b解析：因为OP＝OP1＋P1P＝OP1＋λPP2＝OP1＋λ(OP2－OP)＝OP1＋λOP2－λOP，所以(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，所以OP＝OP1＋OP2＝a＋b.答案：D二、填空题6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以解得所以x－y＝3.答案：37．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．解析：由解得答案：3a－4b3b－2a8．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________．解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)三、解答题9.如图所示，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC＝OD＋OE.在直角△OCD中，因为|OC|＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|OD|＝4，|CD|＝2，故OD＝4OA，OE＝2OB，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10.如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM相交于点P，用向量a，b表示OP.2解：因为OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB＝a＋m＝(1－m)a＋mb.OP＝ON＋nNA＝b＋n＝(1－n)b＋na.因为a，b不共线，所以⇒n＝，m＝.所以OP＝a＋b.B级能力提升1．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解析：B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．答案：A2．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．解析：设AB＝a，AC＝b，则AO＝(AB＋AC)＝a＋b，又AO＝AM＋MO＝AM＋λMN＝AM＋λ(AN－AM)＝(1－λ)AM＋λAN＝a＋b.根据平面向量基本定理得消去λ得m＋n＝2.答案：23．如图所示，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若AM＝xAB，AN＝yAC.试问：＋是否为定值？解：设AB＝a，AC＝b，则AM＝xa，AN＝yb，AG＝AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)．所以MG＝AG－AM＝(a＋b)－xa＝a＋b，MN＝AN－AM＝yb－xa＝－xa＋yb.因为MG与MN共线，所以存在实数λ，使MG＝λMN.所以a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.因为a与b不共线，所以消去λ，得＋＝4，3所以＋为定值．4
