高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学业分层测评 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.1.4空间向量的直角坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)【解析】b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．【答案】A2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为()【导学号：15460069】A.B．C.D．【解析】∵AB的中点M，∴CM＝，故|CM|＝|CM|＝＝.【答案】C3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是()A．－6B．－C.D．14【解析】由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.【答案】C4．如图3134，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()图3134A．1B．C.D．【解析】以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，1，)，F，所以|EF|＝＝，故选C.【答案】C5．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.B．1C．D．【解析】b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝52＋.∴|b－a|＝.∴|b－a|最小值＝.【答案】C二、填空题6．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为________．【解析】设OQ＝λOP＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA·QB＝6λ2－16λ＋10＝62－，当QA·QB取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.【答案】7．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________.【导学号：15460070】【解析】设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或【答案】或8．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.【解析】因为AB＝(m－1,1，m－2n－3)，AC＝(2，－2，6)，由题意得AB∥AC，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.【答案】0三、解答题9．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)【解】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得OE⊥b，E点坐标为.10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心．求证：OA1⊥AM.【证明】建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，M，O.∴OA1＝，AM＝.2∵OA1·AM＝×(－1)＋×0＋1×＝0，∴OA1⊥AM.[能力提升]1．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为()A．－2B．2C．3D．－3【解析】∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.【答案】A2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．【答案】A3．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．【解析】因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，所以3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a与b的夹角为π，则x＝，所以x∈∪.【答案】∪4．在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？【解】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M.又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则AB1＝(，1,2)，MN＝，所以|AB1|＝2，|MN|＝，AB1·MN＝2m－1.如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量AB1和MN的夹角等于45°或135°.又cos〈AB1，MN〉＝＝.所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.3