高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例自主训练 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

1.2应用举例自主广场我夯基我达标1.如图1-2-12，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，其中可以实现并可以计算得出AB长的数据是()图1-2-12A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b思路解析:根据实际情况,α、β都是不易测量的数据，而C中的a、b、γ很容易测量到，并且根据余弦定理AB2=a2+b2-2abcosγ能直接求出AB的长.答案:C2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()A.akmB.a3kmC.a2kmD.2akm思路解析:由图可知∠ACB=120°，AC=BC=a.在△ABC中，过点C作CD⊥AB，则AB=2AD=2acos30°=3a.图1-2-13答案:B3.在200m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为()A.m3400B.m33400C.m33200D.m3200思路解析:如图1-2-14所示，设塔高AB为h，图1-2-141在Rt△CDB中，CD=200，∠BCD=90°-60°=30°,∴BC=3340030cos200.在△ABC中，∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°,∴∠BAC=120°.30sin120sinABBC,∴AB=3400120sin30sinBCm.答案:A4.在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且其最大内角为120°，则其最大边长为____________.思路解析:由已知所给三边间的关系，先判断其最大边，再利用余弦定理把问题解决.由已知a-b=4,a+c=2b,得a=b+4,c=2b-a=b-4，故a为最长边.∴A=120°.∴cosA=21)4(2)4()4(222bbbbb，即8216bb=21.解得b=10.∴a=14.答案:145.在△ABC中，若(sinA+sinB+sinC)·(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB，则C=_____________.思路解析:本题所给条件中涉及的是三内角的正弦，容易想到将其展开化简，得到sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，而这个形式与余弦定理极为相似，然而余弦定理所涉及的是边角关系，于是可以先用正弦定理将三内角的正弦转化为边，即为a2+b2-c2=ab，所以cosC=2122222abababcba，C=60°.答案:60°6.为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B,望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°,∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度.思路分析:由题意画出示意图，把问题转化为求△ABC的AB边上的高的问题.而由已知及正弦定理，可先求出AC，进而求得河宽.解:如图所示，在△ABC中，由已知可得图1-2-15AC=)623(2060sin75sin120sinsinCBAB.设C到AB的距离为CD，则CD=22·AC=20(3+3)，∴河的宽度为20(3+3)米.7.已知关于x的方程x2+xcosAcosB-1+cosC=0的两根之和等于其两根之积的一半，试判断△ABC的形状.思路分析:本题与一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的关系，容易根据题意及根与2系数间的关系得到三内角间的关系，从而判定△ABC的形状.解:依题意,得-cosAcosB=21cosC,即2cosAcosB=1-cosC.∴cos(A+B)+cos(A-B)=1+cos(A+B).∴cos(A-B)=1.又-π＜A-B＜π，∴A-B=0,A=B.故△ABC是等腰三角形.我综合我发展8.在△ABC中，A＞B＞C，且三边a、b、c为连续自然数，且a=2ccosC.求sinA∶sinB∶sinC的值.思路分析:本题已知条件中给出了边角间的关系，要求三内角正弦之比，可以根据正弦定理转化为求三边之比，进而去求三边长，从而将问题解决.解: A＞B＞C,∴a＞b＞c.又三边a、b、c为连续自然数，∴可设a=b+1,c=b-1.由a=2ccosC,得cosC=)1(212bbca.由余弦定理,得cosC=)1(24)1(2)1()1(2222222bbbbbbbbacab，∴)1(21)1(24bbbb，即(b+1)2=(b-1)(b+4),b=5.∴a=6,c=4.由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4.9.小明在内伶仃岛上的点A处，上午11时测得在A的北偏东60°的C处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B处，12时40分时又测得轮船到达位于A正西方5千米的港口E处，如果该船始终保持匀速直线运动.求：(1)点B到A的距离；(2)船的航行速度.思路分析:本题所涉及的角比较多，首先应该考虑画出示意图，将题中所述条件正确地反映在图形上，这样比较直观，然后结合图形分析，不难根据正、余弦定理把问题解决.解:(1)轮船从C处到点B用了80分钟，从点B到点E用了20分钟，轮船保持匀速直线运动.故BC=4BE，设BE=x，则BC=4x.由已知,得只要求出x的值即可.在△AEC中，由正弦定理,得sinC=xxE...