小题专题练(一)集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(建议用时：50分钟)1．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)>0}，B＝{x|－1≤x－1≤1}，则A∩(∁RB)＝________．2．(2019·苏州模拟)函数f(x)＝的定义域为________．3．已知a＞0，b＞0，且满足3a＋b＝a2＋ab，则2a＋b的最小值为________．4．(2019·南通调研)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．5．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．6．(2019·泰州期末)曲线y＝2lnx在点(e，2)处的切线(e是自然对数的底数)与y轴交点的坐标为________．7．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．其中是真命题的为________．(把所有正确命题的序号都填上)8．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．9．(2019·苏北四市联考)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．10．若关于x的不等式(2ax－1)lnx≥0对任意的x＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为________．12．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的根，则a的取值范围为________．13．(2019·常州模拟)已知函数f(x)＝x2ex，若f(x)在[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________．14．a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．小题专题练(一)1．解析：A＝{x|(x＋1)(x－2)>0}＝{x|x<－1或x>2}．因为B＝{x|－1≤x－1≤1}，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以∁RB＝{x|x<0或x>2}，所以A∩(∁RB)＝{x|x<－1或x>2}．答案：{x|x<－1或x>2}2．解析：若函数f(x)有意义，则所以log2x＞1，所以x＞2.答案：(2，＋∞)3．解析：因为a＞0，b＞0，且满足3a＋b＝a2＋ab，所以b＝＞0，解得1＜a＜3，则2a＋b＝2a＋＝a－1＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当a＝1＋，b＝1时取等号．答案：3＋24．解析：函数f(x)＝lgx2的单调递减区间需满足x2>0且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)5．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，所以2ax＝－lne3x＝－3x，所以a＝－.答案：－6．解析：由曲线y＝2lnx得y′＝，所以k＝，所以点(e，2)处的切线方程为y－2＝(x－1e)，令x＝0得y＝0，所以曲线y＝2lnx在点(e，2)处的切线与y轴交点的坐标为(0，0)．答案：(0，0)7．解析：因为Δ＝(－2a)2－4×(－1)＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，函数f(x)＝x＋的取值为负值，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(綈q)，(綈p)∨(綈q)是真命题．答案：②③④8．解析：x，y满足的平面区域如图阴影部分所示，根据阴影部分可得，当直线z＝2x＋y与圆相切于第一象限时，z取最大值，此时＝2，所以z的最大值为2.答案：29．解析：y′＝2x－，由y′＝1，得2x－＝1，x＝1.切点为(1，1)，它到直线y＝x－2的距离为.答案：10．解析：若x＝1，则不等式成立，若x＞1，则lnx＞0，则不等式等价为2ax－1≥0对x＞1恒成立，即2ax≥1，即a≥，因为＜，所以a≥，若0＜x＜1，则lnx＜0，则不等式等价为(2ax－1)≤0对0＜x＜1恒成立，即2ax≤1，即a≤，因为＞，所以a≤，综上a＝.答案：a＝11．解析：由二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)得a≠0，其导函数为f′(x)＝2ax＋b.不等式f(x)≥f′(x)即为ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0对任意x∈R恒成立，则得0≤b2≤4ac－4a2，所以c≥a>0，则≥1，所以≤＝，令t＝－1≥0，当t＝0时，＝0；当t>0时，≤＝＝≤＝2－2，当且仅当＝＋1时取等号，综上可得的最大值为2－2.答案：2－212．解析：由f(x－4)＝f(x)知，f(x)的周期为4，又f(x)为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，作出函数y＝f(x)与y＝logax的图象如图所示，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则解得
