高三数学(理科)摸底测试参考答案第1页(共4页)成都市2013级高中毕业班摸底测试数学试题参考答案(理科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(每小题5分,共60分)1.A;2.D;3.C;4.D;5.A;6.B;7.C;8.C;9.A;10.B;11.D;12.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(每小题5分,共20分)13.12;14.30;15.439;16.(28,55).三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ) △ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO⊥BC,∴AO⊥OB′,AO⊥OC.…………4分又 OB′∩OC=O,∴AO⊥平面B′OC.…………6分(Ⅱ)由三视图知,直线OB′,OA,OC两两垂直,且OC=OB′=1,OA=3,建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.则A(3,0,0),C(0,1,0),B′(0,0,1).∴AC→=(-3,1,0),AB′→=(-3,0,1).设平面AB′C的法向量为m=(x,y,z).则m·AC→=0m·AB′→=0{,即-3x+y=0-3x+z=0{.可取m=(1,3,3).……9分又n=(1,0,0)为平面B′OC的法向量,∴cos〈m,n〉=m·n|m||n|=11×19=1919.∴二面角A-B′C-O的余弦值为1919.…………12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3).…………2分由-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为[-5π6+2kπ,π6+2kπ],k∈Z.…………6分(Ⅱ)g(x)=[f(x)]2-2=4sin2(x+π3)-2=-2[1-2sin2(x+π3)].=-2cos(2x+2π3).…………8分高三数学(理科)摸底测试参考答案第2页(共4页) x∈[0,π4],∴2x+2π3∈[2π3,7π6].∴cos(2x+2π3)∈[-1,-12].∴1≤g(x)≤2.…………11分∴函数g(x)的值域是[1,2].…………12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.∴第3,4,5组共有60名志愿者.∴用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3;第4组:2060×6=2;第5组:1060×6=1.∴应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.…………6分(Ⅱ)记第3组的3名志愿者分别为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者分别为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种不同的结果.…………9分其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3都没有被抽中的可能情况有:(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有3种不同的结果.∴第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-315=45.…………12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,知动点P(x,y)到定点E(-1,0),F(1,0)的距离之和等于4(大于|EF|),∴动点P的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.∴a=2,c=1,b2=3.∴曲线G的标准方程为x24+y23=1.…………4分(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).代入x24+y23=1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.显然△>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.…………6分(i)由题意,知C(x1,-y1).∴直线BC的方程为y=y2+y1x2-x1(x-x1)-y1.令y=0,则xN=y1(x2-x1)y2+y1+x1=y1x2+y2x1y2+y1=2x1x2-(x1+x2)x1+x2-2=2·4k2-124k2+3-8k24k2+38k24k2+3-2=4.高三数学(理科)摸底测试参考答案第3页(共4页)∴直线BC恒过定点N,且定点N的坐标为(4,0).…………9分(ii)由(i),可知N(4,0),F(1,0).∴△ABN的面积可表示为S=12|FN||y2-y1|=32|k(x2-x1)|.∴S=32k2[(x1+x2)2-4x1x2]=32k2[(8k24k2+3)2-4·4k2-124k2+3].=18k2·k2+1(4k2+3)2设4k2+3=t,则t>3.∴S=92t2-2t-3t2=92-3(1t+13)2+43.令u=1t,则00,得12
