双曲线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为()A.B．2C.D．4解析：由题意，得＝，所以a＝4.答案：D2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.答案：C3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A.B．(－，)C.D．[－，]解析：由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与双曲线右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C.答案：C4．若在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()A．e>B．12D．10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)，又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.答案：±1三、解答题29．已知双曲线－＝1(b>a>0)的渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点M(－，)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求＋的值．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，因为点M(－，)在双曲线上，所以(－)2－＝λ，所以λ＝2.所以双曲线方程为x2－＝2，即－＝1.(2)由题意知OP⊥OQ，设OP直线方程为y＝kx，由解得所以|OP|2＝x2＋y2＝＋＝.由OQ直线方程为y＝－x，以－代替上式中的k，可得|OQ|2＝＝.所以＋＝＋＝＝.10．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|＝2|QF|，求直线l的方程．解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，所以所求的双曲线方程为x2－＝1.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0，2k)，因为|MQ|＝2|QF|且M，Q，F共线于l，3所以MQ＝2QF或MQ＝－2QF.当MQ＝2QF时，xQ＝－，yQ＝k，所以Q的坐标为，因为Q在双曲线x2－＝1上，所以－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．当MQ＝－2QF时，同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程得，16－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋2)，综上，所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．B级能力提升1．已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是()A.B.C．2D．3答案：A2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)右焦点F作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是()A．(1，)B．(，)C．(，)D．(1...
