初三数学解读反比例函数知识精讲 试题VIP专享VIP免费

初三数学解读反比例函数知识精讲戎学智初中阶段我们学习反比例函数，主要研究其概念、图象、画法，并根据图象归纳反比例函数的性质。学习反比例函数与其他函数一样，要善于利用数形结合思想。一、解读新知识点1.反比例函数的图象及其画法反比例函数图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、三象限或二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以函数图象与坐标轴没有交点，即双曲线的两个分支无限接近于坐标轴，但永远达不到坐标轴。图象如图l、图2所示。图1图22.反比例函数的性质自变量，函数值。当k>0时，函数的两个分支在一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数的两个分支在二、四象限，y随x的增大而增大。3.反比例函数中比例系数k的几何意义（1）如图3，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积。①因为，所以xy=k②由①、②得S=|k|。（2）如图3，过双曲线上任意一点E作EF垂直其中一坐标轴，连接OE，则。图3二.知识要点的应用例1.已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围。（1）函数图象位于一、三象限；（2）在每个象限内y随x的增大而增大。分析：由于已知函数的比例系数为，所以根据反比例函数的性质列出不等式，进而求出k的取值范围。解：（1）因为函数图象位于一、三象限，所以，所以k<4；（2）因为已知函数在每个象限内y随x的增大而增大，所以，所以k>4。例2.如图4，点P是x轴正半轴上的动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连接OA。（1）如图4，当点P在x轴正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否在变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；图4（2）如图5，在x轴上P点的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连结OB交AP于点C。设△AOP的面积为，梯形BCPD的面积为，则与的大小关系是_________（填“>”、“=”或“<”）。图5（3）如图6，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为H，连接AH、PF，试说明四边形APFH的面积为常数。图6分析：因为反比例函数xy=k，而（1）中，所以其面积不会发生变化；（2）由（1）的结论得，则易知、的大小。解：（1）Rt△AOP的面积不发生变化，；（2）；（3）注：双曲线中隐含着许许多多的规律，我们在解题中不但要善于发现这些规律，而且要善于总结这些规律。例3.在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它受力面积的反比例函数，其图象如图7所示。（1）求p、S之间的函数关系；（2）当时，求物体承受的压强；（3）若物体承受的压强不可超过250Pa时，受力面积至少要多少？图7分析：（1）由于反比例函数图象过点a（0.1，1000），由此可求出k的值，注意到图象在第一象限内，所以自变量S的取值范围大于0。至此，（2）、（3）两问也就迎刃而解。解：（1）设，由a（0.1，1000）在图象上，得所以，p、S之间的函数关系为；（2）当时，；（3）当时，，即受力面积至少为。注：应用反比例函数的图象解题时，必须认真观察图象特征，从中收集并整理相关信息，用以解决其他一系列问题。