2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数3计算导数课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．下列结论正确的是()A．若y＝，则y′＝B．若y＝，则y′＝C．若y＝cosx，则y′＝sinxD．若y＝lnx，则y′＝解析：′＝－，()′＝，(cosx)′＝－sinx，(lnx)′＝.答案：D2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值是()A．－4B．4C．±4D．不确定解析：f′(x)＝a·xa－1，f′(－1)＝a·(－1)a－1＝－4，∴a＝4.答案：B3．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值等于()A．eB．－eC.D．－解析：y′＝(lnx)′＝，设切点为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1，由lnx0－1＝0得x0＝e.又∵k＝，∴k＝.答案：C4．已知直线ax－by＋2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则的值为()A.B.C．－D．－解析：曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3x2|x＝1＝3，直线ax－by＋2＝0斜率k′＝，由题意可得3×＝－1，故＝－.答案：D二、填空题5．若已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，且f′(x)＋g′(x)≤0，则x的取值为_____________．解析：∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cosx)′＝－sinx．g′(x)＝x′＝1.由f′(x)＋g′(x)≤0，得到－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，∴sinx＝1.∴x＝2kπ＋，k∈Z.答案：2kπ＋，k∈Z6．曲线y＝sin在点A处的切线方程为_________________．解析：∵sin＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切线的斜率k＝－sin＝，∴过点的切线方程为y－＝，即3x－6y＋π＋3＝0.答案：3x－6y＋π＋3＝01三、解答题7．求下列函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝x；(5)y＝2cos2－1.解析：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(xn)′＝n·xn－1，∴y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.(3)∵y′＝(ax)′＝ax·lna，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y′＝(logax)′＝，∴y′＝(x)′＝＝－.(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.8．函数y＝log2x的图像上任一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，求a的值．解析：y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k1＝y′x＝a＝.已知直线斜率k2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k1k2＝＝－1.∴a＝2.9.求证：在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)．证明：因为xy＝a2，所以y＝.所以y′＝′＝－.函数y＝在图像上的任一点(x0，y0)处的切线斜率k＝－，y0＝，所以切线方程是y－y0＝k(x－x0)．即y－＝－(x－x0)，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0，所以S＝|x|·|y|＝·|2x0|＝2a2为常数．即在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数2a2.2
