第二章函数与导数第6课时二次函数1.函数y＝2x2－8x＋2在区间[－1，3]上的值域为________．答案：[－6，12]解析：y＝2(x－2)2－6.x＝2时，y最小为－6；x＝－1时，y最大为12.2.设f(x)＝x2＋ax＋3，不等式f(x)≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．答案：－6≤a≤2解析：依题意，x2＋ax＋3－a≥0对x∈R恒成立，故函数的图象恒在x轴的上方或与x轴最多只有一个公共点，从而Δ＝a2－4(3－a)≤0.3.二次函数f(x)＝2x2＋5，若实数p≠q，使f(p)＝f(q)，则f(p＋q)＝________．答案：5解析：由f(p)＝f(q)，知二次函数图象的对称轴为x＝，则f(p＋q)＝f(0)＝5.4.已知函数f(x)＝ax2＋(1－3a)x＋a在区间[1，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是________．答案：[0，1]解析：若a＝0，满足题意；若a≠0，则a＞0且－≤1.5.函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝a时有最小值，当sinx＝1时有最大值，则实数a的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：当sinx＝a时有最小值，则－1≤a≤1；当sinx＝1时有最大值，说明1比－1更远离a，所以a≤0，所以－1≤a≤0.6.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．答案：－2x2＋4解析：f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2. f(x)是偶函数，∴ab＋2a＝0，∴a＝0或b＝－2.当a＝0时，f(x)＝bx2不符．当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2. 值域为(－∞，4]，∴2a2＝4.∴f(x)＝－2x2＋4.7.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为实数，a≠0)的图象过点C(t，2)，且与x轴交于A、B两点，若AC⊥BC，则a＝________．答案：－解析：设y＝a(x－x1)(x－x2)，由条件，a(t－x1)(t－x2)＝2，又AC⊥BC，利用斜率关系得，·＝－1，所以a＝－.8.设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①当c＝0时，y＝f(x)是奇函数；②当b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①②③解析：①由c＝0，得f(x)＝x|x|＋bx为奇函数；②当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c，此时方程f(x)＝0有唯一一个实数根－；③在函数y＝f(x)的图象上任取一点(x，y)，其关于点(0，c)的对称点为(－x，2c－y)，可判断该点仍在y＝f(x)的图象上；④当c＝0，b＜0时，方程f(x)＝0有三个实数根．故①②③正确，④错误．9.设a为实数，函数f(x)＝x|x－a|，其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f(x)的单调区间．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x|x|,因为定义域为R，它关于原点对称，且f(－x)＝－x|－x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．当a≠0时，因f(a)＝0，f(－a)＝－a|2a|，所以f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)，所以f(x)是非奇非偶函数．(2)当a＝0时，f(x)＝f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a＞0时，f(x)＝f(x)的单调递增区间为和(a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为.当a＜0时，f(x)＝f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和，f(x)的单调递减区间为.10.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，且f(x)在闭区间[－2，2]上恒为非负数，求实数a的取值范围．解：f(x)＝x2＋ax＋3－a＝＋3－a－.由题意，f(x)≥0在x∈[－2，2]上恒成立，即[f(x)]min≥0.当－<－2，即a>4时，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a，由7－3a≥0，得a≤，这与a>4矛盾，此时a不存在．当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，[f(x)]min＝f＝3－a－，由3－a－≥0，得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.当－>2，即a<－4时，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上所述，实数a的取值范围是[－7，2]．11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f(c)＝0，当0
